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[答842] 三角形の内部の点と長さ

ヤドカリ

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[答842] 三角形の内部の点と長さ


 面積が 40 の △ABCがあり、BCの中点をM,CAを 1:2 に内分する点をN,AMとBNの交点をP とします。

 AM:BN=3:2,AM⊥BN のとき、PA,PB,PM の長さは?


[解答1]

 太字はベクトルを表すものとします。

 CAaCBb とすれば CMb/2 ,CNa/3 ,AMb/2-aBNa/3-b です。

 AM:BN=3:2 より、|b/2-a|:|a/3-b|=3:2 、|b-2a|=|a-3b| 、

 2乗して、|b|2-4ab+4|a|2=|a|2-6ab+9|b|2 、3|a|2+2ab-8|b|2=0 ……(1)

 AM⊥BN より、(b/2-a)・(a/3-b)=0 、(b-2a)・(a-3b)=0 、-2|a|2+7ab-3|b|2=0 ……(2)

 (1)・7-(2)・2 を計算し、25|a|2-50|b|2=0 、|a|2=2|b|2 ……(3)

 (1)(3)より、ab=|b|2 になります。

 △ABC=(1/2)√{|a|2|b|2-(ab)2} だから、|a|2|b|2-(ab)2=(2△ABC)2 、2|b|4-|b|4=6400 、|b|2=80 です。

 AM2=|b/2-a|2=|b|2/4-ab+|a|2=|b|2/4-|b|2+2|b|2=(5/4)|b|2=(5/4)・80=100 、

 AM=10 ,BN=(2/3)AM=20/3 です。

 メネラウスの定理により、(AP/PM)(MB/BC)(CN/NA)=1 、AP/PM=(AN/NC)(CB/BM)=2・2=4 だから、

 AP=(4/5)AM=8 ,PM=(1/5)AM=2 になり、

 (BP/PN)(NA/AC)(CM/MB)=1 、BP/PN=(BM/MC)(CA/AN)=1・3/2=3/2 だから、BP=(3/5)BN=4 です。

 まとめて、PA=8 ,PB=4 ,PM=2 です。


[解答2]

 CN=CA/3,CM=CB/2 だから、△CNM=△CAB/6=20/3 、四角形ABMN=40-20/3=100/3 になり、

 四角形ABMN=BN・AM/2=(2AM/3)・AM/2=AM2/3=100/3 だから、AM=10,BN=20/3 です。

 座標平面上で、P(0,0),A(0,a),B(-b,0),M(0,-m),N(n,0) とすれば、

 a+m=10 ,b+n=20/3 です。

 Cは BMを 2:1 に外分するから C(b,-2m) 、Cは ANを 3:1 に外分するから C(3n/2,-a/2) 、

 m=10-a,n=20/3-b を代入して C(b,2a-20) であり、C(10-3b/2,-a/2) であるから、

 b=10-3b/2 ,2a-20=-a/2 、a=8,b=4,m=2,n=8/3 です。

 従って、PA=a=8 ,PB=b=4 ,PM=m=2 です。


[解答3]

 メネラウスの定理により、(AP/PM)(MB/BC)(CN/NA)=1 、AP/PM=(AN/NC)(CB/BM)=2・2=4 、

 また、(BP/PN)(NA/AC)(CM/MB)=1 、BP/PN=(BM/MC)(CA/AN)=1・3/2=3/2 、

 AM:BN=3:2=15:10 より、AM=15k,BN=10k とすれば、

 AP=(4/5)AM=12k,PM=(1/5)AM=3k,BP=(3/5)BN=6k,PN=(2/5)BN=4k です。

 次に、△CNM=(1/3)(1/2)△ABC=△ABC/6=40/6=20/3 、

 四角形ABMN=△ABC-△CNM=40-20/3=100/3 、

 AM・BN=2四角形ABMN だから、150k2=200/3 、k2=4/9 、k=2/3 だから、

 PA=12k=8,PB=6k=4,PM=3k=2 になります。

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Comments 16

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樹☆  
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おはようございます
幸運を運ぶ黄色のラッパ水仙一番に見られて
ラッキーです。

ひとりしずか  
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今日は曇天、気温3℃ちょっと(玄関)
太陽の光線想わせる黄色いすいせん(^^♪
3月が待ち遠しい~
ナイス☆

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
黄色の水仙を見ると何時も春がそこまでやって来たのを感じますね!!
此れからの季節は黄色の花も多く成りますね
ナイス♪ま

こっこちゃん  
No title

おはようございます !(^^)!

黄色で八重ですかね おおきな黄色のスイセンで
元気頂きました ナイス☆

ニリンソウ  
No title

もうラッパ水仙ですか!!
しかも温室でもなさそう~~~今年の春は早いですかね。
ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
ラグタイムがあるからでしょう ^^;
すぐに思い出せなかったりしてますが…
ふつうに比例計算だけで解けた気がします☆
ともあれ、元に復帰され嬉しい限りです♪ Orz~

tsuyoshik1942  
No title

「メネラウスの定理」このサイトで識り、最近ようやく、使えるようになりました。

お休みが一週間と短く良かったです。また楽しませていただきます。

アキチャン  
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こんばんわ。
黄色い色がいいですね。ひらひらの花びらが可愛い♪

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
黄色を幸運に結びつけるのは、
幸せの黄色いハンカチのイメージかなぁ?
いずれにせよ、春が待ち遠しいです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
黄色は太陽の色ですね。
ところで、3月になるとそちらでもだいぶ暖かいのでしょうか?

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
春になると黄色の花が多くなりますね。
なぜか、草花は黄色と紫と白が多いように思います。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
黄色の水仙は春を呼ぶような気がします。
これから多くなってきますよね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
はい、仰る通り、温室ではありません。
今年は大寒でも寒くありませんが、これから寒くなりそうです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
確かにタイムラグがあって、私もちょっと変な感じです。
これからもとのペースに戻さないといけません。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
なんとか1週間で復帰できました。
これからもよろしくお願いします。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
コメントのない時もナイス!して頂き、恐縮です。
ところで、黄色は温かみを感じますね。