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[答843] 秒針の追い越し

ヤドカリ

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[答843] 秒針の追い越し


 アナログの時計で、秒針が短針を追い越したあと長針を追い越すまでの時間が一番短いときの、

 短針を追い越す時刻は何時何分何秒?

 秒は整数になりませんので、その整数部分で答えて下さい。

 ただし、00時00分00秒は秒針が短針と長針を同時に追い越すので除きます。

 また、短針・長針・秒針はなめらかに動くものとします。


[解答1]

 まず、短針は1時間に 30゚ ,1分間に 30゚/60=1゚/2 ,1秒間に 30゚/3600=1゚/120 進み、

 長針は1分間に 360゚/60=6゚ ,1秒間に 360゚/3600=1゚/10 進み、

 秒針は1分間に 360゚/60=6゚ 進みます。

 文字盤の「12」を基準にして、h時m分ちょうどに、

 短針は (30h+m/2)゚ 進んでいて、長針は 6m゚ 進んでいます。

 1秒間に秒針は短針に (6-1/120)゚=719゚/120 近づくので、追いつくまでに 120(30h+m/2)/719 秒、

 1秒間に秒針は長針に (6-1/10)゚=59゚/10 近づくので、追いつくまでに 10・6m/59 秒です。

 よって、その時間差は、10・6m/59-120(30h+m/2)/719=3600(11m-59h)/(59・719) 秒です。

 これが正にならない場合は、長針を追い越してから更に 360/(59/10)=3600/59 秒かかるので、

 3600(11m-59h)/(59・719)+3600/59=3600(11m-59h+719)/(59・719) 秒、

 これが最小になるのは、m=0,h=11 のときで、11m-59h+719=70 です。

 よって、時間差が最小になるのは、3600(11m-59h)/(59・719) において、11m-59h=1 のときです。

 このとき、11m-(11・5+4)h=1 、11(m-5h)-4h=1 、(4・3-1)(m-5h)-4h=1 、

 4{3(m-5h)-h}-(m-5h)=1 、4(3m-16h)=m-5h+1 、

 3m-16h=k とおけば m-5h+1=4k 、これを解けば、 h=11k-3 ,m=59k-16 になり、

 h,m は整数で、0≦h≦11,0≦m≦59 を満たすので、k=1 、h=8,m=43 になります。

 秒針が短針に追いつくまでに、120(30・8+43/2)/719=43.6439499…… 秒で、

 答は 8時43分43秒です。

 なお、秒針が短針に追いつくまでに、10・6・43/59=43.7288135…… 秒です。


[解答2]

 00時00分00秒の短針・長針・秒針の位置を基準に考えます。

 短針と長針が重なった直後に秒針が短針,長針の順に追い越しますので、

 まず、短針と長針が重なる場合を考えます。

 長針は短針の12倍,秒針は短針の 12・60=720倍のスピードで進みますので、

 短針が 1/11 周すると長針は 12/11=1+1/11 周して重なります。

 その間に秒針は 720/11=65+5/11 周しますので、秒針は 5/11 周の位置にあります。

 これを(1/11,5/11)と表すことにすれば、他の場合は (2/11,10/11),(3/11,4/11),(4/11,9/11),

 (5/11,3/11),(6/11,8/11),(7/11,2/11),(8/11,7/11),(9/11,1/11),(10/11,6/11) です。

 この中で、重なった短針と長針に秒針がもっとも近づいているのは(8/11,7/11)です。

 短針の速度:秒針の速度:短針に対する秒針の相対速度=1:720:719 なので、

 秒針が短針に 8/11-7/11=1/11 周分近づく間に 短針は (1/11)/719 周分進みます。

 よって、秒針が短針を追い越すとき、短針は 8/11+1/(11・719)=523/719 周分進んでいます。

 短針がこの位置にある時刻は、

 (12・523/719)時=(6276/719)時=(8+524/719)時=8時(60・524/719)分=8時(31440/719)分

  =8時(43+523/719)分=8時43分(60・523/719)秒=8時43分(31380/719)秒=8時43分(43+463/719)秒 、

 答は 8時43分43秒です。


[解答3]

 12時間に短針は1周、秒針は 720周するので、秒針は短針を 719回追い越しますので、

 x回目の追い越し時刻は (12/719)x 時です。ただし、1≦x≦719 とします。

 1時間に長針は1周、秒針は 60周するので、秒針は長針を 59回追い越しますので、

 y回目の追い越し時刻は (1/59)y 時です。

 秒針が、短針をx回追い越してから長針をy回追い越すまでの時間は、 

 (1/59)y-(12/719)x=(719y-708x)/42421 時間です。

 719 と 708 は互いに素なので、719y-708x=1 を満たす整数の組(x,y)が存在します。

 708(y-x)+11y=1 と変形すれば、y-x=3,y=-193 のときに成り立ちますので、

 x=-196,y=-193 のときに成り立ち、-719・193+708・196=1 ですので、

 719y-708x=-719・193+708・196 、719(y+193)=708(x+196) なので、x+196 は 719の倍数、

 197≦x+196≦915 だから x+196=719 、x=523 ,y=515 です。

 秒針が短針を 523回目に追い越す時刻は (12/719)・523時=(6276/719)時 で、

 6276/719=8+524/719 、60・524/719=43+523/719 、60・523/719=43+463/719 だから、

 8時43分(43+463/719)秒、小数部分を除いて、8時43分43秒です。

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Comments 15

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樹☆  
No title

おはようございます
よく見る花なのに・・名前が出てこない。
わぁ~~きちゃったの?
ちゅるちゅるが可愛い。

ひとりしずか  
No title

マンサクですね!
細長いひも状のちぢれた花びらが特徴あります。
早春の花、春を感じさせてくれます
ナイス☆

アキチャン  
No title

おはようございます。
そろそろ、公園のを撮ってきます(o^-^o)

こっこちゃん  
No title

おはようございます !(^^)!

こちらもマンサクさきはじめましたよ”

花びら不思議ですね リボンのようで (笑) ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これはややこしくてわけわかめになってしまいました ^^;
[解答3]が面白い(わかりやすい)ですね♪
時計算っていろんなパターンがあるものなのねぇ^^☆ Orz~

ニリンソウ  
No title

シナマンサクかな、早いですね。
春一番にみつけたい花~探しに行かなきゃ。

ナイス

樹☆  
No title

そうでした。マンサクでしたね^^
ありがとう

さっちゃんこ  
No title

こんばんは♪
早くもマンサクが満開ですね!!
此方でも咲き始めているのかな(・・?
未だ見掛けていません
カールしたような花弁が可愛いですね!!
ナイス♪

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
花の名前に限らず、私もど忘れすることがことがあります。
花は心を癒しますが、名前が出てこないと何となく落ち着かないものです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
春先にまず咲くマンサク、春が徐々に近づいているのが嬉しいです。
マンサクは細長い花弁が特徴ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
公園にいろんな花が咲きだすと嬉しいですね。
もうすぐそんな季節がやってきます。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。t
そちらもマンサクが見られるようになってきましたか。
こちらはやっと咲きだしたところです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
時計の問題にしては面倒だったと思います。
短針と長針と秒針が重なるのは 00:00:00 だけですが、
それに近いものを考えていてできた問題です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
そちらより春はかなり早いと思いますが、
そちらでは春の花が雪解けを待っているのでしょうね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントをありがとうございます。
PCの不調の時のコメント、恐れ入ります。
マンサクは花弁が面白い形をしていますね。