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[答844] 漸化式で表された数列

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答844] 漸化式で表された数列


 a1=8,a2=4,a3=4,an+3=3an+2-3an+1+an (n=1,2,3,……) で表される数列の 第23項 a23 の値は?


[解答]

 an+3-2an+2+an+1=an+2-2an+1+an なので、数列{ an+2-2an+1+an }は定数になります。

 よって、an+2-2an+1+an=a3-2a2+a1=4 です。

 an+2-an+1=an+1-an+4 になり、数列{ an+1-an }は公差 4 の等差数列になります。

 よって、an+1-an=a2-a1+4(n-1) 、an+1-an=4n-8 です。

 n=1,2,3,……,k-1 を代入して加えると、

 ak-a1=4・(k-1)k/2-8(k-1) 、ak=2k2-10k+16 です。

 従って、a23=2・232-10・23+16=844 です。

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Comments 16

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ひとりしずか  
No title

黄色いのは苞でしょうか
外を覗き見るかのように白い花が・・・
かわった花です
ナイス☆

アキチャン  
No title

おはようございます。
おはよう♪と顔をあげているようです(o^-^o)

こっこちゃん  
No title

黄色で可愛い花ですね

名前ほとんど わからないですが

この時期には 良く見る花ですね イエローカラーにナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これは式変形に気付けました♪
この値になる漸化式を思いつけることに敬服至極です ^^;v

直接関係ないことですが...
こういうのって…a(0)=16, a(-1)=28,...とかって遡って使ってもいいのでしょうか知らん…?
たとえば...
>a(k)=2k^2-10k+16
なら...a(k)=2(k-5/2)^2+7/4
から…Min{a(k)}=a(2)=a(3)=4 とわかりますが、kがマイナスのときにMinになる場合もありそうで...Orz~

スモークマン  
No title


っていうか...わたしの回答は間違ってましたのねぇ…^^;;
どこで間違えたのか知らん…?...
自信ありありだったもので...今頃になって気付きました…Orz...

tsuyoshik1942  
No title

実際に、「a4,a5,a6」の数値「8,16,28」を求め、階差数列が等差になっていることに気づきました。
以後は、a(k)=pk^2+qk+rを解きました。

第1,2,3項が「8,4,4」、そして求める答が「844」、きれいですね!

「846」難儀中。

樹☆  
No title

こんにちは
ビタミンカラーシリーズで元気をもらえます。
ずっと雨です。。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
パキスタキスのようですが今でも咲いているのでしょうか
普通だったら夏の花だったように思います
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title


写真の花はパキスタキス・ルテア(鬱金珊瑚)です。
英語名は golden candle です。
原産地は中南アメリカ、西インド諸島です。
開花時期は5~11月だそうですが、
今月に花の文化園の温室で見ました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
上に書きましたように、パキスタキス・ルテアという花です。
仰るように、黄色の部分は苞です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私はおはようと言っているように思いもしませんでした。
同じ花でもいろんな見方があるのですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
名前は上に書きましたように、パキスタキス・ルテアです。
ビタミンカラーで元気をもらえますね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントをありがとうございます。
この問題はリコメが遅くなり、お忘れになっていたのだと思います。
a(k)がkの2次関数なので、それ以外にないことは明らかです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
漸化式の問題は、いくつかの項を求めると類推できることもよくあります。
「きれい」というお褒めの言葉を有難うございました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この時期は黄色の花が暖かく感じるので使い続けました。
ところで、今日はこちらも 雨⇒小雨 でした。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
よくご存じですね。パキスタス・ルテアです。
温室で見ましたので、季節に関係なく撮れました。