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[答845] 角の二等分線と四角形の面積

ヤドカリ

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[答845] 角の二等分線と四角形の面積


 AB<BC,∠ABC=90゚ として、∠ABC の二等分線上に PA=PC を満たすように点Pをとります。

 PB=13 のとき、四角形ABCPの面積は?


[準備]

 左下図のように、ACを直径とする円を描けば、∠ABC=90゚ だから Bはこの円周上にあり、

 円と角の二等分線との交点のうち B以外の点をPとすれば、

 ∠PBA=∠PBC より PA=PC ,∠APC=90゚ になります。

 また、PはACの垂直二等分線上の点ですので、他には考えられません。

 よって、四角形PABCはACを直径とする円に内接します。


[解答1]

 AB=a,BC=b,PA=PC=c とすれば AC=c√2 だから、

 トレミーの定理により、BP・c√2=ac+bc 、BP=(a+b)/√2 になり、

 三平方の定理により、AC2=a2+b2=2c2 になります。

 求める面積は、

 ab/2+c2/2=(2ab+2c2)/4=(2ab+a2+b2)/4=(a+b)2/4=BP2/2=132/2=169/2=84.5 です。


[解答2]

 ∠A+∠C=180゚ になり、△PABを Pを中心に 90゚ 回転すれば、求める面積は、

 PB=13 を等辺とする直角二等辺三角形の面積と等しくなり、132/2=169/2=84.5 です。 


[解答3]

 PA=PC ,∠APC=90゚ ,∠A+∠C=180゚ ですので、

 この四角形を4個集めれば、右下図のように、対角線の長さが 26 の正方形になります。

 求める面積は、 262/2/4=132/2=169/2=84.5 です。


[解答4]

 Pから BAの延長におろした垂線の足をQ,BCにおろした垂線の足をR とすれば、

 PQ=PR なので、△PQA≡△PRC になり、求める面積は 正方形PQBRの面積と等しく、

 対角線の長さが 13 だから、132/2=169/2=84.5 です。

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Comments 17

There are no comments yet.
ひとりしずか  
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アロエですね
これから咲くところ、ちょっとくねっているのがいいですね!
ナイス☆

tsuyoshik1942  
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「解答4」でした。休み明けの問題が簡易で良かったです。

下記、タイプミスと思われます。
>Pから BAの延長におろした垂線の足をP(→Q),BCにおろした垂線の足をQ(→R) とすれば、

こっこちゃん  
No title

おはようございます !(^^)!

こちらも アロエの花 国道に咲いてます

気候は コチラとあまり変わりないのですね ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
最初気付けず…座標で ^^;
コメをみて[解答4]に思い至りましたが…^^
[準備]の内容が基本になきゃいけませんでした…Orz
これって、内接四角形の新たなフォルムですね☆

アキチャン  
No title

こんにちわ。
私は花を咲かせたことがありませんが、
アロエそのものもいつの間にかなくなってしまいました
゚(゚´Д`゚)゚

スモークマン  
No title


わたしのは[解答4]じゃなくって…[解答3]の方でした…^^;
この図を見れば内接することは一目瞭然だったわけですが…
よく見る図なのに指摘されるまで考えたこともなかったです☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
アロエの花はこの時期にときどき見かけます。
花の少ない時期に、割に長い間、見られるのもいいですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントとタイプミスの指摘をありがとうございます。
早速、訂正しました。
平易な問題ですが、[解答3]の逆で、正方形を4等分して問題にしました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
そちらは国道沿いにいろんな花が見られるようですね。
花によっては、気候の違いを感じますょ。
もちろん、プロ野球のキャンプのニュースを見た時もです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、2度のコメントをありがとうございます。
[解答3]の図をイメージして問題を作りました。
この図に気づいて頂けたようで、嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
アロエは薬用としても有用だそうですね。
植えているお宅をよく見かけます。
ずいぶん前には、我が家にもあったのですがいつの間にか見なくなりました。

ニリンソウ  
No title

花が咲くアロエは薬効にイイらしいですね。
擦り傷、軽いやけどの時など葉の中のぬるぬるを
付けていました。

ナイス

樹☆  
No title

こんばんは
やどかりさんではないけどPCの調子がいまひとつ。
頑張って~~と声かけしてます。
我が家のアロエもこんなお花咲かせます^^

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
アロエの花が奇麗ですね
この花は花の少ない時期に長く咲いてくれるので本当にありがたいですネ
メジロもこの花の蜜が大好きなようです

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
私もかつて母に言われてアロエを塗った記憶があります。
その時は花に興味がなく、こんな花を咲かせるとは知りませんでした。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
PCの不具合は困りますね。
5~6年が寿命だと聞いたことがありますので、
大事なものはこまめにバックアップを取っておくことが大切です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
さっちゃんこさんのこのコメントが私のブログの第50000コメでした。
いつものご訪問とコメントとナイス!に感謝しています。