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[答847] 対角線が直交する四角形

ヤドカリ

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[答847] 対角線が直交する四角形


 正112角形の頂点のうちの4個を頂点とする四角形のうち、対角線が直交するものは何個?


[解答]

 一般化して、正 2n 角形で2本の直交する対角線の選び方を考えます。

 また。「弧」は 正 2n 角形の外接円の弧を意味するものとします。

 対角線が直交する四角形の頂点を A,B,C,D とすれば、∠ADB+∠CAD=90゚ だから、

 弧AB+弧CD が 円周の 1/2 になります。

 2n 個の点うち、1個をAとし、AEが直径になるように点Eをとり、

 B,Dを 直径AEの反対側にとれば、弧AB+弧CD が 円周の 1/2 になるCが決まります。

 ( BD//EC になるように C をとることになります。ただし、AE⊥BD の場合は E を C とします。)

 3点A,B,Dの決め方は、同じ四角形を4回ずつ数えることになるので、

 求める四角形は、2n(n-1)2/4=n(n-1)2/2 個です。

 本問では、n=112/2=56 だから、56・552/2=84700 個です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
No title

昨日の色違い
今朝の気温マイナス3℃、花色まで寒く感じてしまいます。
まだまだ春の足音遠いです
ナイス☆

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
今日は色違いのブルーですね
セントボーリアも色んな色合いがあり楽しめますね

ナイス♪

ニリンソウ  
No title

これもセントポーリア?
ストレプトカーパス化と思いました。
うちでも細々と咲くので。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしゃ勘違いして同じ式になったものの…^^;
その意味を捉えきれずにいましたが…
この解答で了解できました♪
直径56本において片側 (112-2)/2=55ずつで1個決まり、
その直径を180°まで回転したらすべてだけど、2度カウントされてるから...56*((112-2)/2)^2/2
なのでしたのね ^^☆ Orz~

tsuyoshik1942  
No title

「解答」のスマートな手法には遠く及びませんが、同じ式を得ました。

任意の弦ACを円の直径まで平行移動すると、弦の端点A'およびB'は両点とも格子点か格子点の中間地点となる。
従って、円の上部と下部に対応する格子点を結ぶ線は、元の弦ACと直行する。
以上のことから「任意の弦ACと直行する弦の数はAC間(短い方)に存在する格子点の数」に気づき、以後は数え上げ・計上しました。

樹☆  
No title

こんばんは。やはりPC壊れて修理中です。セントポーリアですか?
きれいな色です。ナイスは直ってからします。携帯からは打ちにくい。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
こちらはプラス2℃くらいでした。
立春といっても、春は遠いですが、日差しは強くなってきました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントをありがとうございます。
仰る通り、セントポーリアは種類も色も多いので楽しめます。
見ていても嬉しくなります。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
これも、仰る通り、セントポーリアです。
あまりなじみのない花の種類が多いと分かりにくいですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
「この解答で了解できました♪」は嬉しい言葉です。
解答説明の値打ちがあります。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942 さん、コメントをありがとうございます。
このような問題は数え上げが基本ですね。
それをいかに能率よく合理的に考えられるかですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントをありがとうございます。
PCの修理ですか。修理で直ればいいのですが、
新調すれば、データの引っ越しなど面倒なことになります。
つい最近経験したもので……。