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[答849] 魔方陣

ヤドカリ

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[答849] 魔方陣


 縦・横・斜めにまっすぐ並んだ4つのマスの数の和がすべて等しくなるように、

 図の A~J のそれぞれに数を書くとき A~J の全部が決まるわけではありませんが、一部は決まります。

 決まる文字とその数は?

 マスの数は整数に限らないものとします。


[解答1]

 (A+B+C+D)+(D+F+H+I)+(I+2+10+J)+2(D+5+12+J)

  =(A+6+7+J)+(B+6+H+2)+(C+F+7+10)+2(I+2+10+J) を簡単にして、

 4D=2(6+7+2+10-5-12) 、D=(6+7+2+10-5-12)/2=4 です。

 A+6+7+J=I+2+10+J=D+5+12+J より A=D+4=8 ,I=D+5=9 です。

 4数の定和は D+F+H+I=F+H+13 だから、B=F+5,C=H-4,E=H+2,G=F-6,J=F+H-8 、

 全部が決まるためには、J を含む2個 または {B,F,G},{C,E,H}から1個ずつ の、

 あと2個の値を与える必要があります。まとめると、A=8,D=4,I=9 だけが決まります。


[解答2]

 (A+B+C+D)+(D+F+H+I)+(I+2+10+J)=(A+6+7+J)+(B+6+H+2)+(C+F+7+10) より

 2(D+I)=2(6+7) 、D+I=6+7 ……(1)

 (A+E+G+I)+(A+6+7+J)+(D+F+H+I)=(E+6+F+5)+(G+H+7+12)+(D+5+12+J) より

 (A+I)+(A)+(I)=(5)+(12)+(5+12) より

 2(A+I)=2(5+12) 、A+I=5+12 ……(2)

 (A+B+C+D)+(A+6+7+J)+(D+F+H+I)=(B+6+H+2)+(C+F+7+10)+(I+2+10+J) より

 2(A+D)=2(2+10) 、A+D=2+10 ……(3)

 (1)+(2)+(3) より 2(A+D+I)=42 、A+D+I=21 ……(4)

 (4)-(1) ,(4)-(2) ,(4)-(3) より、A=8,D=4,I=9 です。

 4数の定和は D+F+H+I=F+H+13 だから、B=F+5,C=H-4,E=H+2,G=F-6,J=F+H-8 、

 全部が決まるためには、J を含む2個 または {B,F,G},{C,E,H}から1個ずつ の、

 あと2個の値を与える必要があります。


[参考]

 縦・横・斜めにまっすぐ並んだ4つのマスの数の和がすべて S とすれば、

 (A+6+7+J)+(B+6+H+2)+(C+F+7+10)+(D+F+H+I)-(A+B+C+D)-(I+2+10+J)=2S 、

 2(6+F+H+7)=2S 、6+F+H+7=S となって、中央の4数の和も S になります。

 簡単に示せますが、他にも4数の和が必ず S になるものがあり、右上図の ●印4個の和です。

 もちろん、縦・横・斜めにまっすぐ並んだ4つのマスの数の和も S です。

 それを利用すれば、右下図の ▲2個の和 と ▼2個の和 が等しいことが分かります。

 本問は、黄色で示した3つを利用すると簡単に解けます。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

花弁の赤い模様が春の喜びを伝えてくれているようです。
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[参考]の事実は知りませんでしたけど…
真ん中の4個の和も等しいというその証明はスマートね☆
あの対角線論法にも似てる♪
3x3なら…3S-2S=3m...真ん中の数はS/3となるわけですねぇ ^^

ニリンソウ  
No title

シンピジュームも豪華ですね。
我が家は真冬も外におきっぱなし、今年は咲かないでしょう。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
花弁の模様はちょっとしたアクセントですね。
本格的な春はまだまだですが、ちょっと気配を感じるようになりました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
魔方陣にはいくつかの性質があります。
それを考えるための問題でもありました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
寒い時でも温室の中の花を見ると別世界です。
綺麗にランの花が咲いていました。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
シンビジウムが奇麗ですね
もみじの里のシンビジウム 今年は花芽が付いていないようです
手入れ不足なのでしょうね

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
写真のシンビジウムは花の文化園の温室で見ました。
いつも手入れされていて綺麗です。

樹☆  
No title

これはよく見かけるし・・
我が家でも咲いてましたよ^^

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ランの中では比較的ポピュラーですね。
それでもランだけに存在感があります。