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[答851] 2つの円柱

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答851] 2つの円柱


 底面の半径が異なり、表面積が等しく 体積も等しい2つの直円柱があります。

 等しい表面積が 984π で 底面の半径の和が 23 のとき、等しい体積は?


[解答]

 一方の底面の半径を r,高さを h とし、他方の底面の半径を R,高さを H とします。

 体積を kπ とすれば、kπ=πr2h=πR2H よって、k=r2h=R2H です。

 表面積は 2πr2+2πrh=2πR2+2πRH だから、 r2+rh=R2+RH 、

 r3R+r2Rh=rR3+rR2H 、r3R+kR=rR3+kr 、

 rR(r+R)(r-R)=k(r-R) 、r≠R だから、k=rR(r+R) になります。

 よって、体積は πrR(r+R) です。

 表面積は 2πr2+2πrh=2π(r2+rh)= 2π(r2+r2h/r)=2π(r2+k/r)

  =2π{r2+R(R+r)}=2π(r2+rR+R2)=2π{(r+R)2-rR} です。

 本問では 2π{(r+R)2-rR}=984π,r+R=23 だから、232-rR=492 、rR=37 になり、

 (r-R)2=(r+R)2-4rR=232-4・37=381>0 だから、r,R は異なる正の数です。

 体積は、πrR(r+R)=π・37・23=851π です。

 念の為に検算しておくと、

 r は x2-23x+37=0 の解だから、r=(23±√381)/2 、r2=23r-37 、

 表面積は 2πr2+2πrh=984π だから、r2+rh=492 、rh=492-r2=492-(23r-37)=529-23r>0 、

 体積は πr2h=πr(529-23r)=π(529r-23r2)=π{529r-23(23r-37)}=851π です。

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Comments 12

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます
紅梅が奇麗に咲きましたね
ピンクの可愛い花に暖かさを感じますね
ナイス☆彡

ひとりしずか  
No title

シベのにぎやかなこと~
もうこんなに咲き誇っているのですね!
ナイス☆

ゆうこ つれづれ日記  
No title

ヤドカリさん地方はもう梅の花が
いっぱい咲いているのですね。
ナイス☆
私の所は雪しか見えません。

樹☆  
No title

こんにちは
かわいい。桜より先に咲いて季節を感じることが
できます。。大阪城ですか?

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
気付けませんでしたけど…
たしかに奇麗な式ですねぇ☆
一つの球=(4/3)πR'^3なので...
=πRr(R+r) を満たすR,rの円柱(表面積と体積も等しい)に分割できるわけですね ♪…なんだか不思議…Orz~

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
こちらでもようやく目につくほどに咲くようになりました。
梅の花に春の到来を感じます。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
こんなにというより、漸くです。
一重の梅はしべが目立ちますね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
北海道はまだまだ寒いのでしょう。
こちらは、冬の寒さから抜けようとしている気がします。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
大阪城でなく、長居植物園でした。
大阪城公園の梅林にも行きたいです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
綺麗な式になりました。
この式をもとに問題を作りました。

ニリンソウ  
No title

紅梅が咲き誇って青空も見えて
気分もかる~くなるでしょうネ。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
ようやく訪れつつある春です。
梅もだいぶ目につくようになりました。