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[答852] 長針と短針が逆の時刻

ヤドカリ

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[答852] 長針と短針が逆の時刻


 例えば、5 時 37.342657342657… 分 と 7 時 28.111888111888… 分 について、アナログ時計で、

 5時37.342657342657…分の短針の位置と 7時28.111888111888…分の長針の位置は一致し、

 5時37.342657342657…分の長針の位置と 7時28.111888111888…分の短針の位置は一致します。

 このように、長針と短針の位置が逆になる時刻が存在するような時刻が時々あります。

 長針と短針の位置が逆になる時刻を「逆時刻」ということにして、

 0時と12時の間の12時間に、逆時刻が存在するのは全部で何回?

 また、逆時刻が存在する時刻をすべて加えるとその合計は?

 長針と短針が重なる時刻も含めるものとしますが、0時と12時ちょうどは含めないものとします。


[解答]

 角度は文字盤の12の位置から右回りの角を度で表すことにします。

 長針と短針を逆になる時刻が存在するような時刻を A時B分(Aは整数で 0≦A≦11,0≦B<60)とし、

 長針と短針を逆になる時刻を C時D分(Cは整数で 0≦C≦11,0≦D<60)とすれば、

 A時B分の 短針のさす角は 30A+B/2 ,長針のさす角は 6B ,

 C時D分 短針のさす角は 30C+D/2 ,長針のさす角は 6D です。

 よって、30A+B/2=6D ,30C+D/2=6B 、B=60(A+12C)/143 ,D=60(12A+C)/143 になり、

 A=C=0 のとき A時B分は 0時ちょうど、A=C=11 のとき A時B分は 12時ちょうど になり、

 これを除けば、0<B<60,0<D<60 で、時刻として妥当です。

 よって、回数は、12・12-2=142 です。

 また、A時B分は「時」で表せば、 A+(A+12C)/143=(144A+12C)/143=12(12A+C)/143 になり、

 12A+C は 1,2,3,……,142 のすべての整数値1回ずつとりますので、

 合計は 12(142・143/2)/143=852 時 になります。

 また、0時や12時ちょうどを含めて 12/143時間(5分強)毎に、逆時刻が存在することになります。

 なお、

 どの時刻も 12時からその時刻を減じた時刻は 短針・長針ともに 左右対称の位置にあるので、

 逆時刻が存在する時刻を 12時から減じた時刻にも 逆時刻は存在します。

 従って、逆時刻が存在する時刻の平均は 12時/2=6時 です。

 よって、合計は 6時×142=852 時 としても求められます。

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Comments 17

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アキチャン  
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おはようございます。
形状がなんかいいですね(o^-^o)

ひとりしずか  
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枝に咲く雪の花を思わせます。
ナイス☆

樹☆  
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おはようございます
可愛い白い花はなんでしょう。
雪柳のお仲間?

こっこちゃん  
No title

おはようございます !(^^)!

真っ白で 可愛い花ですね

ユキヤナギ科でしょうね ナイス☆

tsuyoshik1942  
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「解答」を何回か読ませていただき、ようやく理解できました。
自分は、PCの力を借り、答だけは当てましたが解けてませんでした。

この日曜日、京都マラソンを走ってきました。
それなりに準備をしたのですが、体力の衰えを痛感させられました。
体力に比すれば、知力はまだ保持されていると一人合点しております。
これも、このサイトへの挑戦がよい刺激になっていると感謝してます。

pea*hb*zu  
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目が戸惑い、面白かったです。トリックアートかと、今は短針と長針が逆にした時計を作ったら、売れるかもと思っています。慣れたら、問題ない。

さっちゃんこ  
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こんばんは
真っ白な可愛い花ですが見た記憶のない花のようです
始めてみる花のようですが名前が気に成りますね

ナイス☆彡

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
これは上手く考えられませんでした…^^;
時針が0-11,1-10,…,5-7 のとき、分針がその前後の位置 2*12=24カ所しか思いつけず…熟読玩味ぃ Orz~

ヤドカリ  
No title


写真の花はフブキバナです。
花の文化園の大温室で見ました。
フブキバナはシソ科テトラデニア属です。
原産地は南アフリカで、
日本へは明治時代の後期に渡来したそうです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
上に書きましたように、フブキバナです。
形状が吹雪に見えます。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントをありがとうございます。
上に書きましたようにフブキバナです。
「雪の花」の連想がいいですね。

ヤドカリ  
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樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
雪柳ではないですが、雪を連想しますね。
フブキバナという花です。

ヤドカリ  
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こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
白い雪のようですね。
私も可愛い花だと思います。

ヤドカリ  
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tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
マラソンなんて、よく走れますね。私には無理です。
頭を使うことと身体を使うことは私も続けないといけないと思います。

ヤドカリ  
No title

pea*hb*zuさん、コメントをありがとうございます。
短針が分針なら、何分かがちょっと分かりにくいかも知れません。
数字がそのままで逆回転させれば面白いかも知れません。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私はこの花が好きで去年も載せた気がしますが、
花の文化園以外で見たことがありません。
珍しいと花だと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
こんな問題を思いつきました。
考えてみれば、意外とたくさんありました。