[答854] もとの数と平方数
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[答854] もとの数と平方数
(n,n2) の数字に 0 がなく数字が重複しないような最大の自然数 n は?
最大ではありませんが、例えば n=17 のとき、(17,289) には 0 がなく 数字が重複しません。
[解答]
1000≦n のとき 1000000≦n2 で、(n,n2)の数字は 11個以上になり重複します。
よって、n≦999 の範囲に限定されます。
n は 0 を含まず 数字が重複しない数 ……(1) です。
n の一の位が 1,5,6 のとき、(n,n2)は 一の位が重複しますので、
n の一の位は 2,3,4,7,8,9 ……(2) のものに限定されます。
317≦n<1000 のとき 100489≦n2<1000000 なので、(n,n2)の数字は 9個以上になり、
1,2,3,4,5,6,7,8,9 が全て現れなければなりません。
よって、317≦n≦999 の範囲では (n,n2)の数字が 1 から 9 が1個ずつのものが適します。
また、 n+n2≡1+2+3+4+5+6+7+8+9≡0 (mod 9) だから、n(n+1) は 9 の倍数で、
n に使う3個の数字の和は 8,9,17,18 のいずれか ……(3) になります。
939≦n≦999 のとき 881721≦n2≦998001 で 8 または 9 が重複し、適しません。
895≦n<939 のとき 801025≦n2<881721 で n に 8 は使えませんし、
n に 9 を使っていますので、n の一の位に 3,7 は使えません。
この範囲に (1)(2)(3) を満たす n はありません。
837≦n≦894 のとき 700569≦n2≦799236 で n に 7 は使えません。
7 を含まず (1)(2)(3) を満たすのは n=864,863,854 だけですが、
8642 の一の位は 6 で 6 が重複し、8632 の下2桁は 69 なので 863 は適さず、
8542=729316 なので 854 は適します。
よって、求める最大の自然数は 854 です。
[参考]
プログラムで調べても、(n,n2) に 0 がなく数字が重複しないような自然数 n は、
n=2,3,4,7,8,9,17,18,24,29,54,57,59,72,79,567,854 だけで、
(n,n2)=(2,4),(3,9),(4,16),(7,49),(8,64),(9,81),
(17,289),(18,324),(24,576),(29,841),(54,2916),(57,3249),(59,3481),(72,5184),(79,6241),
(567,321489),(854,729316) です。
0を含むものを加えると、n=53,84,209,259,807 が増えるだけで、
(n,n2)=(53,2809),(84,7056),(209,43681),(259,67081),(807,651249) です。
手計算では面倒なので、0を除き 最大のものだけにしました。
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