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[答854] もとの数と平方数

ヤドカリ

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[答854] もとの数と平方数


 (n,n2) の数字に 0 がなく数字が重複しないような最大の自然数 n は?

 最大ではありませんが、例えば n=17 のとき、(17,289) には 0 がなく 数字が重複しません。


[解答]

 1000≦n のとき 1000000≦n2 で、(n,n2)の数字は 11個以上になり重複します。

 よって、n≦999 の範囲に限定されます。

 n は 0 を含まず 数字が重複しない数 ……(1) です。

 n の一の位が 1,5,6 のとき、(n,n2)は 一の位が重複しますので、

 n の一の位は 2,3,4,7,8,9 ……(2) のものに限定されます。

 317≦n<1000 のとき 100489≦n2<1000000 なので、(n,n2)の数字は 9個以上になり、

 1,2,3,4,5,6,7,8,9 が全て現れなければなりません。

 よって、317≦n≦999 の範囲では (n,n2)の数字が 1 から 9 が1個ずつのものが適します。

 また、 n+n2≡1+2+3+4+5+6+7+8+9≡0 (mod 9) だから、n(n+1) は 9 の倍数で、

 n に使う3個の数字の和は 8,9,17,18 のいずれか ……(3) になります。

 939≦n≦999 のとき 881721≦n2≦998001 で 8 または 9 が重複し、適しません。

 895≦n<939 のとき 801025≦n2<881721 で n に 8 は使えませんし、

  n に 9 を使っていますので、n の一の位に 3,7 は使えません。

  この範囲に (1)(2)(3) を満たす n はありません。

 837≦n≦894 のとき 700569≦n2≦799236 で n に 7 は使えません。

  7 を含まず (1)(2)(3) を満たすのは n=864,863,854 だけですが、

  8642 の一の位は 6 で 6 が重複し、8632 の下2桁は 69 なので 863 は適さず、

  8542=729316 なので 854 は適します。

 よって、求める最大の自然数は 854 です。


[参考]

 プログラムで調べても、(n,n2) に 0 がなく数字が重複しないような自然数 n は、

 n=2,3,4,7,8,9,17,18,24,29,54,57,59,72,79,567,854 だけで、

 (n,n2)=(2,4),(3,9),(4,16),(7,49),(8,64),(9,81),

  (17,289),(18,324),(24,576),(29,841),(54,2916),(57,3249),(59,3481),(72,5184),(79,6241),

  (567,321489),(854,729316) です。

 0を含むものを加えると、n=53,84,209,259,807 が増えるだけで、

 (n,n2)=(53,2809),(84,7056),(209,43681),(259,67081),(807,651249) です。

 手計算では面倒なので、0を除き 最大のものだけにしました。

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Comments 18

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ひとりしずか  
No title

昨日のと同じ仲間ですね
花の形は同じでもガクに毛があって
赤い縁取りが引き立ちましね
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
手計算だと同じような感じにならざるを得ないようですね ^^
大きい方から計算をして行くわけだけど、比較的早くに見つかってよかった…^^;v …計算経過(n<1000)から、0があっても最大数は変わらないはずと思ってました…Orz~

ゆうこ つれづれ日記  
No title

多肉ちゃん、エケベリアかな~~~
私も育てたことがありますが2年目でダメになってしまいがっかりです。
濃いオレンジ色が美しですよね。
ナイス☆

ニリンソウ  
No title

これもベンケイソウ科?
昨日のより葉が丸みありますね、花は同じようだけど。

ナイス

tsuyoshik1942  
No title

「解答の(3)」が中々理解できませんでした。
何回か読ませていただき、ようやくわかったような気がしました。

自分は、当然「解答」より試行錯誤の数が多かったです、でも筆算の範囲で絞込みました。

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
先日お友達のところで見かけた多肉食の花と同じです
まっぱも丸みがあってホンノリ赤みが差していますね
開花時期も長いと友人は言っていました

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
同じベンケイソウ科の多肉植物ですが、錦晃星と名付けられています。
なかなか面白い花です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントをありがとうございます。
計算は同じようなものでしょう。
能率のよい方法で計算すればよいと思います。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ベンケイソウ科の多肉植物で、錦晃星と名付けられています。
私は見て撮るだけですが、育てるのは難しいのでしょうね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
違いがよく分かりませんが、多肉植物は綺麗な花を咲かせます。
穏やかな気持ちになります。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
0を省いたのは、9の倍数と関連付けたかったからです。
能率のいい計算方法を考える問題でした。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
さっちゃんこさんも同じ花を見られたのですか。
長く咲いてくれる花は有難いですね。

こっこちゃん  
No title

こんばんは!(^^)!

多肉に咲く花は美しいですよね

名前判らにけど 良く見ますね
オレンジ色って 元気貰えますよね ナイス☆

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
オレンジ色は暖かな感じがします。
美しく、元気になれる花はいいですね。

アキチャン  
No title

おはようございます。
ちょっと見たことがないアングルのような気がします。
綺麗ですね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
多肉植物の花を上から撮りました。
綺麗でしたよ。

樹☆  
No title

多肉種って・・結構花を咲かせるのが
難しいと聞きました。お水与えすぎてもだめになるそうですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
多肉植物はあまり花を咲かせませんが、咲くと綺麗ですね。