[答854] もとの数と平方数
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[答854] もとの数と平方数
(n，n2) の数字に 0 がなく数字が重複しないような最大の自然数 n は？
最大ではありませんが、例えば n＝17 のとき、(17，289) には 0 がなく 数字が重複しません。
[解答]
1000≦n のとき 1000000≦n2 で、(n，n2)の数字は 11個以上になり重複します。
よって、n≦999 の範囲に限定されます。
n は 0 を含まず 数字が重複しない数 ……(1) です。
n の一の位が 1，5，6 のとき、(n，n2)は 一の位が重複しますので、
n の一の位は 2，3，4，7，8，9 ……(2) のものに限定されます。
317≦n＜1000 のとき 100489≦n2＜1000000 なので、(n，n2)の数字は 9個以上になり、
1，2，3，4，5，6，7，8，9 が全て現れなければなりません。
よって、317≦n≦999 の範囲では (n，n2)の数字が 1 から 9 が１個ずつのものが適します。
また、 n＋n2≡1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9≡0 (mod 9) だから、n(n＋1) は 9 の倍数で、
n に使う３個の数字の和は 8，9，17，18 のいずれか ……(3) になります。
939≦n≦999 のとき 881721≦n2≦998001 で 8 または 9 が重複し、適しません。
895≦n＜939 のとき 801025≦n2＜881721 で n に 8 は使えませんし、
n に 9 を使っていますので、n の一の位に 3，7 は使えません。
この範囲に (1)(2)(3) を満たす n はありません。
837≦n≦894 のとき 700569≦n2≦799236 で n に 7 は使えません。
7 を含まず (1)(2)(3) を満たすのは n＝864，863，854 だけですが、
8642 の一の位は 6 で 6 が重複し、8632 の下２桁は 69 なので 863 は適さず、
8542＝729316 なので 854 は適します。
よって、求める最大の自然数は 854 です。
[参考]
プログラムで調べても、(n，n2) に 0 がなく数字が重複しないような自然数 n は、
n＝2，3，4，7，8，9，17，18，24，29，54，57，59，72，79，567，854 だけで、
(n，n2)＝(2，4)，(3，9)，(4，16)，(7，49)，(8，64)，(9，81)，
(17，289)，(18，324)，(24，576)，(29，841)，(54，2916)，(57，3249)，(59，3481)，(72，5184)，(79，6241)，
(567，321489)，(854，729316) です。
0を含むものを加えると、n＝53，84，209，259，807 が増えるだけで、
(n，n2)＝(53，2809)，(84，7056)，(209，43681)，(259，67081)，(807，651249) です。
手計算では面倒なので、0を除き 最大のものだけにしました。
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