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[答855] 三角形全体の面積

ヤドカリ

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[答855] 三角形全体の面積


 △ABCの 辺AB上に点D,辺AC上に点E があり、BEとCDの交点をPとします。

 △PDB=243,△PCE=72,△PBC=四角形ADPE のとき、△ABCの面積 S は?


[解答]

 △ADC=△CEB,△DBC=△EAB だから、AD:DB=△ADC:△DBC=△CEB:△EAB=CE:EA 、

 AD:DB=CE:EA=m:n とします。

 △DCAにおいて、メネラウスの定理により、(DP/PC)(CE/EA)(AB/BD)=1 、

 DP/PC=(DB/BA)(AE/EC)={n/(m+n)}(n/m)=n2/{m(m+n)} 、

 △BEAにおいて、メネラウスの定理により、(BP/PE)(EC/CA)(AD/DB)=1 、

 BP/PE=(BD/DA)(AC/CE)=(n/m){(m+n)/m}=n(m+n)/m2

 △PDB/△PCE=(DP・BP)/(PC・PE)=(DP/PC)(BP/PE)=〔n2/{m(m+n)}〕〔n(m+n)/m2

 △PDB/△PCE=n3/m3 、m:n=3√△PCE:3√△PDB です。

 本問では、m:n=3√72:3√243=3√8:3√27=2:3 です。

 △ABC=S とすれば、△PBC=四角形ADPE=(S-315)/2 、

 △ADC:△DBC={(S-315)/2+72}:{(S-315)/2+243}=(S-171):(S+171)=2:3 、

 3(S-171)=2(S+171) 、S=855 です。


☆ AD:DB=CE:EA=m:n のとき △PCE:△PDB=m3:n3 に気づいての出題です。

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Comments 16

There are no comments yet.
ひとりしずか  
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昨日のと同じ種類ですね
暑い国の情熱的な色!
ナイス☆

ニリンソウ  
No title

オレンジも華やかです!
しっとり雨です。

ナイス

tsuyoshik1942  
No title

「解答」と同じ道を歩めました。
先の[850]の解答解説が頭に残っており、すぐにメネラウスが使えました。
実は「850]を解くのに、自分もメネラウスを適用したのですが、遠回りをしており、解答の直截的な適用法に感じ入っておりました。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
メネラウス頭よぎるも…使えず ^^;
面積比で立式し、PCに計算させちゃいました Orz~
今まであってもよさそうな問題なのに初見かなぁ?
奇麗な関係が隠れているんですね☆

さっちゃんこ  
No title

色鮮やかなオレンジの花
ランの一種でしょうか 余り見た記憶がない花のようです
ナイス☆彡

アキチャン  
No title

こんばんわ。
何のお花でしょう♪きれいな色ですね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
昨日のエピデンドラムと色違いのものです。
橙色には暖かさを感じますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
エピデンドラムも橙色だと暖かく感じますね。
天気の方は明日の雨の後は寒くなるそうです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントをありがとうございます。
メネラウスの定理が役立つ問題でした。
[850]を意識しての出題ではありませんが、似た問題になりました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
この面積比を得て、作問しました。
図形にはまだまだ知らない性質がありそうです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
昨日と同じエピデンドラムの色違いです。
ランは同じ種類でもいろんな色がありますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
エピデンドラムという、中米から南米にかけて
分布する日光の大好きな着生蘭です。

風 草  
No title

色が違うと同じ花でも雰囲気が変わりますね~
陽気な明るい花色が南国を思わせます。

ナイス☆

ヤドカリ  
No title

風草さん、コメントとナイス!をありがとうございます。
暖かい感じの橙色でした。
エピデンドラムも何種類かの色があるのがいいですね。

樹☆  
No title

わぁ~これは華やかなお花ですね。
なんだろう~~
と思ったらエビデンドラムというのですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
オレンジ色の花はこの時期、暖かく感じますね。