[答859] 合同な三角形と辺の比

[答859] 合同な三角形と辺の比


　図のように △ABC，△ADE があり、△ABC≡△ADE で、点Eは 辺BC上にあって BE：EC＝7：1 、

　点Pは 辺ABと辺EDの交点で DP：PE＝81：175 です。このとき、辺の比 BC：CA：AB＝？


[解答]

　BC＝DE＝a，CA＝EA＝b，AB＝AD＝c，BE＝tBC，PE＝uDE とすれば、BE＝at，EP＝au，PD＝a(1－u) です。

　∠AED＝∠ACE＝∠AEC だから、AEは △BEPの∠BEPの外角の二等分線となり、

　BA：AP＝BE：EP＝t：u 、AP＝cu/t，PB＝c(1－u/t)＝c(t－u)/t です。

　ここで、∠B＝∠D だから、A，D，B，E は同一円周上にあり、方べきの定理により、

　PA･PB＝PD･PE 、c²u(t－u)/t²＝a²u(1－u) 、c²/a²＝t²(1－u)/(t－u) です。

　次に、ECの中点をMとすれば、AC＝AE だから AM⊥EC 、三平方の定理より、

　AM²＝AC²－CM²＝AB²－BM² 、

　AE²＝AB²－(BM²－CM²)＝AB²－(BM＋CM)(BM－CM)＝AB²－BC･BE 、b²＝c²－a²t 、

　b²/a²＝c²/a²－t＝t²(1－u)/(t－u)－t＝t(1－t)u/(t－u) です。

　a²：b²：c²＝1：b²/a²：c²/a²＝1：t(1－t)u/(t－u)：t²(1－u)/(t－u)＝(t－u)：t(1－t)u：t²(1－u) 、

　a：b：c＝√(t－u)：√｛t(1－t)u｝：t√(1－u) です。

　本問では t＝7/8，u＝175/256 だから、

　a：b：c＝√(49/256)：√｛(7/8)(1/8)(175/256)｝：(7/8)√(81/256)＝8：5：9 です。

　なお、前半部は面積を使って、次のようにも計算できます。

　△ABC＝△ADE＝S とすれば、BE＝at，EC＝a(1－t)，△ADP＝S(1－u)，△APE＝Su，△ABE＝St です。

　△PBE∽△PDA だから、△PBE：△PDA＝BE²：DA²＝a²t²：c² 、

　△PBE＝a²t²△PDA/c²＝Sa²t²(1－u)/c² 、

　△PBE＝△ABE－△APE だから、Sa²t²(1－u)/c²＝St－Su 、

　t²a²(1－u)/c²＝t－u 、c²/a²＝t²(1－u)/(t－u) です。


[参考]

　a²：b²：c²＝(t－u)：t(1－t)u：t²(1－u) より、a²：(c²－b²)＝(t－u)：｛t²(1－u)－t(1－t)u｝＝1：t 、

　t＝(c²－b²)/a² 、1－t＝(a²＋b²－c²)/a² 、

　a²：b²＝(t－u)：t(1－t)u より、t(1－t)ua²＝(t－u)b² 、｛t(1－t)a²＋b²｝u＝tb² 、｛t(1－t)a⁴＋a²b²｝u＝ta²b² 、

　u＝ta²b²/｛t(1－t)a⁴＋a²b²｝＝(c²－b²)b²/｛(c²－b²)(a²＋b²－c²)＋a²b²｝＝(c²－b²)b²/(a²c²－b⁴＋2b²c²－c⁴) 、

　1－u＝(a²＋b²－c²)c²/(a²c²－b⁴＋2b²c²－c⁴) 、

　BE：EC＝t：(1－t)＝(c²－b²)：(a²＋b²－c²) 、DP：PE＝(1－u)：u＝(a²＋b²－c²)c²：(c²－b²)b² 、

　このようにして、問題の数値を決めました。

.