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[答859] 合同な三角形と辺の比

ヤドカリ

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[答859] 合同な三角形と辺の比


 図のように △ABC,△ADE があり、△ABC≡△ADE で、点Eは 辺BC上にあって BE:EC=7:1 、

 点Pは 辺ABと辺EDの交点で DP:PE=81:175 です。このとき、辺の比 BC:CA:AB=?


[解答]

 BC=DE=a,CA=EA=b,AB=AD=c,BE=tBC,PE=uDE とすれば、BE=at,EP=au,PD=a(1-u) です。

 ∠AED=∠ACE=∠AEC だから、AEは △BEPの∠BEPの外角の二等分線となり、

 BA:AP=BE:EP=t:u 、AP=cu/t,PB=c(1-u/t)=c(t-u)/t です。

 ここで、∠B=∠D だから、A,D,B,E は同一円周上にあり、方べきの定理により、

 PA・PB=PD・PE 、c2u(t-u)/t2=a2u(1-u) 、c2/a2=t2(1-u)/(t-u) です。

 次に、ECの中点をMとすれば、AC=AE だから AM⊥EC 、三平方の定理より、

 AM2=AC2-CM2=AB2-BM2

 AE2=AB2-(BM2-CM2)=AB2-(BM+CM)(BM-CM)=AB2-BC・BE 、b2=c2-a2t 、

 b2/a2=c2/a2-t=t2(1-u)/(t-u)-t=t(1-t)u/(t-u) です。

 a2:b2:c2=1:b2/a2:c2/a2=1:t(1-t)u/(t-u):t2(1-u)/(t-u)=(t-u):t(1-t)u:t2(1-u) 、

 a:b:c=√(t-u):√{t(1-t)u}:t√(1-u) です。

 本問では t=7/8,u=175/256 だから、

 a:b:c=√(49/256):√{(7/8)(1/8)(175/256)}:(7/8)√(81/256)=8:5:9 です。

 なお、前半部は面積を使って、次のようにも計算できます。

 △ABC=△ADE=S とすれば、BE=at,EC=a(1-t),△ADP=S(1-u),△APE=Su,△ABE=St です。

 △PBE∽△PDA だから、△PBE:△PDA=BE2:DA2=a2t2:c2

 △PBE=a2t2△PDA/c2=Sa2t2(1-u)/c2

 △PBE=△ABE-△APE だから、Sa2t2(1-u)/c2=St-Su 、

 t2a2(1-u)/c2=t-u 、c2/a2=t2(1-u)/(t-u) です。


[参考]

 a2:b2:c2=(t-u):t(1-t)u:t2(1-u) より、a2:(c2-b2)=(t-u):{t2(1-u)-t(1-t)u}=1:t 、

 t=(c2-b2)/a2 、1-t=(a2+b2-c2)/a2

 a2:b2=(t-u):t(1-t)u より、t(1-t)ua2=(t-u)b2 、{t(1-t)a2+b2}u=tb2 、{t(1-t)a4+a2b2}u=ta2b2

 u=ta2b2/{t(1-t)a4+a2b2}=(c2-b2)b2/{(c2-b2)(a2+b2-c2)+a2b2}=(c2-b2)b2/(a2c2-b4+2b2c2-c4) 、

 1-u=(a2+b2-c2)c2/(a2c2-b4+2b2c2-c4) 、

 BE:EC=t:(1-t)=(c2-b2):(a2+b2-c2) 、DP:PE=(1-u):u=(a2+b2-c2)c2:(c2-b2)b2

 このようにして、問題の数値を決めました。

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Comments 16

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ひとりしずか  
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オウバイでしょうか・・
をぱっと明るくしてくれる色
梅って日本と思っていましたが
中国原産が多いのですネ
ナイス☆

樹☆  
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おはようございます
鮮やかな黄色が目に飛び込んできます。

梅みたいに香りもあればいいのに。。

さっちゃんこ  
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おはようございます♪
黄梅の様ですね!!
今年はどうしたのか もみじの里の黄梅は未だ花が咲いていません。
おかめ桜もやっと咲きだしたし異常気象なのでしょうか!?

黄梅なや花が見れるように成ると季節はもう春ですね!!
ナイス♪

ゆうこ つれづれ日記  
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元気をもらえる黄色いお花・・・
なんと言う名のお花でしょうね。
お花っていいですね。
癒されます。ナイス☆

tsuyoshik1942  
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これは左程労せず答を得ましたが、
宿題[861]が残っていると落ち着かず、解説は読めておりません。
どうやら自分の領分を超えているようですが、もう少し考えてみます。

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
どうやって求めたのか思い出せないくらい…
わたしも、[問題860/861]が解けそうで解けず懊悩中…同じような雰囲気の問題と思えるので、片方がわかれば両方解けそうな気もするのですが…^^;…?
三角関数の使い方ってなかなか厄介ってことなんだろか知らん…Orz~

ニリンソウ  
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オウバイ?
カタバミに似た花でも黄色だしね。
春らしい花ですね。
ナイス

風 草  
No title

鮮やかな黄色のお花、なんのお花でしょう。
お日様色のお花は見ていると、ほっこり暖かくなる気がします。

ナイス☆

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、オウバイです。
中国原産の植物は多いですね。中国が環境汚染されないでほしです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
オウバイの黄色は鮮やかです。
見た目だけでも十分ですが、芳しい香りもあればいいですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
そちらの春は早いので、黄梅はもう終わっていても不思議はないです。
意外なコメントでした。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
黄色の梅と書いて、黄梅(オウバイ)です。
たくさんの花がつきます。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
確かに[861]は難しいと思います。
時間があれば、ごゆっくりお考えください。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
[861]に比べれば[860]は易しいと思いますが、
それなりの工夫が必要です。
[861]は書かれた解答を見るのも時間がかかります。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
春の黄色の花には元気を貰えます。
特に早春に咲く花は有難いですね。

ヤドカリ  
No title

風草さん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この鮮やかな黄色の花は黄梅(オウバイ)です。
春の黄色の花は暖かさを感じますね。