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[答82] 正四角錐の内接球の半径

ヤドカリ

ヤドカリ



[答82] 正四角錐の内接球の半径


 図のように、底面積が 4m2 で1つの側面の面積が 5m2 の正四角錐に球が内接しています。

 この球の半径は?



[解答1]

 面積の条件より、底面の1辺は 2m、側面の二等辺三角形の高さは 5m になります。

 右の図のように、四角錐の頂点と底辺の中点を通る平面(赤い線)で切断すれば、

 等辺が 5m で底辺が 2m の二等辺三角形の内接円の半径を求めることになります。

 高さは、√(52-12)=2√6 m だから、面積は、2√6 m2

 内接円の半径は、2(2√6)/(5+5+2)=(√6)/3 m です。


[解答2]

 解答1 のように、四角錐の高さ 2√6 を求めれば、体積は 4(2√6)/3 です。

 球の半径をrとして、下の図のように、この正四角錐を5つの角錐に分けて、

 もとの四角錐の表面を底面と考えると高さはrになるから、

 4・5r/3+4r/3=4(2√6)/3、r=(√6)/3 m です。

☆ 多面体に内接する球が存在すれば、その半径は、3(体積)/(表面積) で求められます。

☆ (√6)/3 m ≒ 81.65cm

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Comments 18

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スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
究極...円の体積=円の表面積*r/3
の意味が分かりますね...^^
無限小の円錐で分割してるってわけですね♪
でも...表面積ってどうやって出すんだったっけ...?

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。

球の場合は体積を先に求めます。
底面の半径がrで高さがrの円錐と、半径rの半球をお椀をのように置いて並べると、
どの高さで切断しても切り口の2つの円の面積の和は
半径rの円の面積と等しくなります。
カバリエリの原理より、この2つの立体の体積は、
底面の半径がrで高さがrの円柱の体積と等しくなります。
従って、半球の体積は、この円柱の体積の 2/3 で、
球の体積は、この円柱の体積の 4/3 で、4πr^3/3 です。
これを使えば、表面積Sは、rS/3=4πr^3/3 として求められます。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
解説ありがとうございました Orz~v
体積を先に出せばいいわけなんですね♪

ある平面(上からh)での面積が...
円錐=πh^2
球=π(r^2-h^2)
合計=πr^2
だってことに気づけたときは嬉しかったでしょうね ^^
で、円柱(πr^3)-(円錐)πr^3/3=(半球)2πr^3/3
けっきょく...球=4πr^3/3

円錐の体積は...三角錐などからのアナロジーなんでしょかね...?

uch*n*an  
No title

なるほど。カバリエリの原理を使って球の体積を多める手法は面白いですね。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
リコメが遅くなって申し訳ありません。

円錐・角錐の体積Vが、底面積をS、高さをhとすれば、V=Sh/3 になることの説明をします。
1辺が 2h の立方体を、立方体の中心を頂点とし立方体の面を底面とする6個の正四角錐に
分けます。
その正四角錐と円錐・角錐を並べると、どの高さの平面で切っても、
切り口の面積比は、(2h)^2:S だから、カバリエリの原理より、体積比も (2h)^2:S です。
(2h)^3/6:V=(2h)^2:S より、V=Sh/3 です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
積分を使わずに説明しようとすると、カバリエリの原理ですね。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
ありがとうございました♪
なるほど...立方体を6分割した正四角錐で説明するのか...^^;

カバリエの原理使えば...たとえば...
円柱を曲げて底面と上面がくっつくような立体の体積は...
底面の面積が πr^2 なら...高さは...πr と考えられるから(円の中心の描く長さ)...π^2*r^3 と考えればいいんですよね ^^v

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
どんな形かがよく理解できないのですが、
ギリギリで穴がないドーナツのような形だとしたら、
円の中心が描く長さは 2πr です。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
すいません...同じ平面で円がくっついてるような...
円形のバネが階段を転げ落ちる例のあの形状のつもりだったんですけど...Orz...^^;

スモークマン  
No title


そっか...やどかりさんのいわれる半分のフォルムと同じなんだって気づきました...♪

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさんの仰る通り、ドーナツは半分でいいですね。
1個食べれば糖分摂り過ぎですよね。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
その分エクササイズすればいいんでしょうが...
人はエネルギー効率高いので...難しい...^^;
カロリー過多は短命になるそうです...やっぱり腹八分目位がいいようですね♪

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、どうコメントすれば良いのか?
笑ってパスです。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
笑う角には福来る♪
福(冬)きたりなば春遠からじ♪
なんのこっちゃ...Orz...^^;v

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、どうコメントすれば良いのか?
再び笑ってパスです。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
^^; Orz~

arahaya  
No title

次の下野模試でそう^^;難しいですねorz

ヤドカリ  
No title

arahayaさん、初めまして。
「下野模試」の意味が分かりません。