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[答862] 定積分の値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答862] 定積分の値


 ∫0π {(θsinθ)/(3+sin2θ)}dθ=?


[解答]

 I=∫0π {(θsinθ)/(3+sin2θ)}dθ とします。

 θ=π-φ とおけば、

 I=-∫π0 〔{(π-φ)sin(π-φ)}/{3+sin2(π-φ)}〕dφ

  =∫0π 〔{(π-θ)sin(π-θ)}/{3+sin2(π-θ)}〕dθ

  =∫0π 〔{(π-θ)sinθ}/(3+sin2θ)〕dθ

  =π∫0π {(sinθ)/(3+sin2θ)}dθ -∫0π {(θsinθ)/(3+sin2θ)}dθ

  =π∫0π {(sinθ)/(3+sin2θ)}dθ -I

 2I=π∫0π {(sinθ)/(3+sin2θ)}dθ

 8I/π=∫0π {4(sinθ)/(3+sin2θ)}dθ

  =∫0π {4(sinθ)/(4-cos2θ)}dθ

  =∫0π {(sinθ)/(2-cosθ)+(sinθ)/(2+cosθ)}dθ

  =[log(2-cosθ)]0π-[log(2+cosθ)]0π

  =(log3-0)-(0-log3)=2・log3

 I=(π・log3)/4=0.8628480…… です。

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Comments 14

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

ネコヤナギのビロードのような触感が大好きです!
どうした訳かほとんど見かけることがなくて~
ナイス☆

ニリンソウ  
No title

もう花が咲き葉も出そうですね。
川辺に行かないと見れない。。。。昨日からまさかの積雪
ですよ。
クロヤナギも好きですがあまり見かけませんね。
ナイス

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
ネコヤナギが銀色に輝きとても綺麗ですね!!
此方では花も咲き終わり新芽が顔を出しているようです!!
ナイス♪

樹☆  
No title

わぁ~これはすてきです。
日差しが・・柔らかな日差しのなかで春が見えます。
美しかぁ~~

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
さっぱりわかりませんでした…^^;
logが絡むはずとまでしか…
巧い発想だなぁと鑑賞するばかりなり Orz~

tsuyoshik1942  
No title

最初から自分の領分を超えた問題と思ったのですが、時間だけはある身、大分もがきました。
でも結局解けず、最後は自分の非常手段(PCで近似値を求め、それに見合う答を推定する)に訴え、荒唐無稽な答を送信し、
ヤドカリさんを呆れ返らせてしまいました。

風 草  
No title

フワフワとしたネコヤナギが可愛いです。
春の気配を感じますね~

ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ネコヤナギはこちらでは時々見られます。
春の息吹を感じますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
今年の北陸地方の季節外れの雪に見舞われていますね。
春が来たり行ったり、目まぐるしいですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ネコヤナギの何とも言えない柔らかい感じと色がいいですね。
そちらは新芽の季節ですか、流石に早いですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ネコヤナギが春の日差しを待っているようですね。
ネコのチョロ君も待っているのでしょうね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
このような問題は慣れているとこの発想ができますが、
積分計算から遠ざかっていると苦労しそうです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
近似値から答を推測するのは難しいですね。
よくこれ以上に複雑な数式を見つけられたものです。

ヤドカリ  
No title

風草さん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ネコヤナギって面白いですね。
私の柳のイメージとはずいぶん違います。