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[答863] 直円錐の切断

ヤドカリ

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[答863] 直円錐の切断


 直円錐を斜めに切断し、切断面が楕円になりました。

 円錐の頂点Aと切り口の楕円の長軸の端点B,Cとの距離が AB=20,AC=14 で、

 長軸の長さが BC=16 のとき、円錐の頂点Aを含む方の体積は?


[解答]

 分割した2つの立体に球を内接させ、楕円との接点を F,F' とします。

 楕円上の任意の点Pに対して、Pを通る円錐の母線と2つの球との接点を E,E' とすれば、

 PF+PF'=PE+PE'=EE'=一定 となって、 F,F' は楕円の焦点になります。

 楕円の長半径は 16/2=8 で、CF=(16+14-20)/2=5 なので、楕円の中心をOとすれば、

 OF=8-5=3 、短半径は √(82-32)=√55 、面積は (8√55)π です。

 次に、(20+14+16)/2=25 だから、ヘロンの公式より、

 △ABC=√{25(25-20)(25-14)(25-16)}=√(25・5・11・9)=15√55 になり、

 BCを底辺とする高さを h とすれば h=2(15√55)/16=(15√55)/8 です。

 従って、求める体積は (1/3)(8√55)π・(15√55)/8=275π=863.9379797…… になります。 


[参考]

 BC=a,CA=b,AB=c とすれば、同様に求めると、

 体積は (π/24)(a+b-c)(a-b+c)√{(a+b+c)(-a+b+c)} になります。

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Comments 14

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ひとりしずか  
No title

青空の下で白梅紅梅が満開に!
ナイス☆

樹☆  
No title

おはようございます
昨日・・ブロ友さんのとこで大和郡山の紅白梅を
見て嬉しい気持ちになったばかり。
今日もすてきな紅白の満開ですね。
うれしくなります。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
わたしは...短径から円の面積をも求め、それを傾けて楕円を求め、楕円の高さをcosで求めという地道な計算で考えましたぁ~^^;v Orz~

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
青い空に紅白の梅が綺麗ですね!!
梅の香が此処まで届いて来そうです!!
ナイス♪

tsuyoshik1942  
No title

「解答」ようやく理解できました。
>PF+PF'=PE+PE'=EE'=一定、この部分の前段としての(PF=PE,PF'=PE')の理に思い至りませんでした。
きれいな道筋ですね!

自分はBC上の中点Oの母線長17の断面図から泥臭く短軸長を算出しました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
白梅紅梅がの両方が咲く1本の木です。
この樹に名札はありませんでしたが、多分「思いのまま」です。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この樹に名札はありませんでしたが、「思いのまま」だと思います。
1本の木に両方が咲くのは嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントをありがとうございます。
前半は円錐の切断面が有限になるとき楕円であることの証明です。
それを利用しました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
こちらでは梅が満開の時期を迎えました。
梅は香りが良くて癒されますね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
解答を理解していただいて嬉しいです。
PF=PE,PF'=PE' は、立体を平面に表すと分かりにくいですね。

樹☆  
No title

この木が「思いのまま」ですか。
一本に紅白が満開したのですね。
花びらが半分紅白になったのをやどかりさんの
前の記事で拝見して不思議だなぁと思ってました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、再度のコメントをありがとうございます。
花の文化園で見た時には「思いのまま」は開花したばかり。
この前、別の場所でこれだけ咲いていました。

ニリンソウ  
No title

これは1本の木ですか?
不思議な感じです紅白同時に咲くなんて。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
私が初めて見たのは何年か前の大阪城公園梅林でしたが、
1本の木に2色の花が咲くのが不思議でした。