FC2ブログ

Welcome to my blog

[答864] 約数の個数

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答864] 約数の個数


 n2 の正の約数が 525個,n3 の正の約数が 1540個である自然数のうち、最小の自然数 n は?


[解答]

 p,q,r,s,…… を素数 、a,b,c,d,…… を整数 、a≧b≧c≧d≧……≧0 として、

 n=paqbrcsd…… と素因数分解されるものとすれば、

 n2 の正の約数は (2a+1)(2b+1)(2c+1)(2d+1)…… 個,

 n3 の正の約数は (3a+1)(3b+1)(3c+1)(3d+1)…… 個 で、

 自然数 m について、4/3≦(3m+1)/(2m+1)<3/2 だから、

 a,b,c,d,…… のうち 自然数であるものの個数を k とすれば、

 (4/3)k≦1540/525<(3/2)k になります。

 (4/3)3<1540/525<(4/3)4 より k≦3 ,(3/2)2<1540/525<(3/2)3 より k≧3 、

 k=3 となって、p,q,r を素数 、a,b,c を整数 、a≧b≧c≧1 として、

 n=paqbrc と素因数分解されます。

 よって、(2a+1)(2b+1)(2c+1)=525 ,(3a+1)(3b+1)(3c+1)=1540 になり、

 展開して整理すると、4abc+2(bc+ca+ab)+(a+b+c)=262 ,9abc+3(bc+ca+ab)+(a+b+c)=513 、

 a+b+c は 2の倍数かつ 3の倍数になり、a+b+c=6K とおけば、

 2abc+(bc+ca+ab)=131-3K ,3abc+(bc+ca+ab)=171-2K 、abc=40+K ,bc+ca+ab=51-5K 、

 bc+ca+ab≧a+b+c だから、51-5K≧6K 、K≦51/11 、K=1,2,3,4 です。

 K=1 のとき abc=41 、(a,b,c)=(41,1,1) は a+b+c=6 を満たしません。

 K=2 のとき abc=42 、(a,b,c)=(42,1,1),(21,2,1),(14,3,1),(7,6,1),(7,3,2) で、

  a+b+c=12 を満たすのは (7,3,2) だけで、これは bc+ca+ab=41 も満たします。

 K=3 のとき abc=43 、(a,b,c)=(43,1,1) は a+b+c=18 を満たしません。

 K=4 のとき abc=44 、(a,b,c)=(44,1,1),(22,2,1),(11,4,1),(11,2,2) は

  a+b+c=24 を満たしません。

 よって、(a,b,c)=(7,3,2) 、最小の n は n=27・33・52=86400 です。

.

スポンサーサイト



Comments 16

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
枯葉をバックに素晴らしい存在ですね(o^-^o)

樹☆  
No title

おはようございます。
オオミスミソウですか?
見つけたときの悦び・・うれしいですね。

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
木の葉の影からそっと顔を出す可愛い花!!
初めて見る花のようですがとても可愛い花ですね
可憐な花姿が素晴らしいです!!
ナイス♪

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
525=3*5^2*7
1540=2^2*5*7*11
から、因数が3個じゃないと無理で…
15,5,7→(15-1)/2=7, (5-1)/2=2, (7-1)/2=3
(3*7+1)*(3*2+1)*(3*3+1)=22*7*10=2^2*5*7*11=1540
でビンゴってないい加減さで見つけましたが...たぶん数が大きかったら駄目だっただろうなぁ…^^; Orz~

こっこちゃん  
No title

花の
名前判りませんが 可愛い花ですね

枯葉の中に 花素敵な眺めですね ナイス☆

tsuyoshik1942  
No title

スモークマンさんと、自分も同じでした。

「解答の中段、n=P^a*Q^b*R^cに限定される」なるほどと感じ入りました。

風 草  
No title

ミスミソウでしょうか。
淡い花色で可愛いですね~
足もとの小さな花が咲き出すと春を実感します。
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
春と告げる草花は美しい中に強さも感じます。
このような花を見ると気持ちが安らぎます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通りオオミスミソウ(雪割草)です。
出会って嬉しい可憐な花です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ユキワリソウって可愛い花ですね。
この花を見ると春の訪れを感じます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントをありがとうございます。
素因数が3種類であることはだいたい分かると思いますが、
理詰めで解かないと他の解がないことが保障されません。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
写真の花はオオミスミソウ(雪割草)です。
早春から咲き始める綺麗な花です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
素因数が3種類であることを理詰めで導きました。
それが分かれば大したことはありませんね。

ヤドカリ  
No title

風草さん、コメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通りミスミソウです。
この花は毎年春に見たい花です。

ひとりしずか  
No title

オオミスミソウは日本海側の春を代表する植物なのだそうで
当地では見れない花なんですね~
多彩な色の変化を自分の目で確かめてみたいと思わされます。
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
分布は日本海側らしいですが、植栽されて植物園で毎年見ています。
ひとりしずかさんも出会える機会があればいいですね。