FC2ブログ

Welcome to my blog

[答865] 3辺も面積も自然数の三角形

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答865] 3辺も面積も自然数の三角形


 3辺の長さが 3,N,N+1 の三角形の面積を S とします。

 (N,S) の自然数の組で 最小の組は (4,6) ですが、

 小さい方から 2番目,3番目,4番目の自然数の組は?


[解答1] 最初から解くと

 (3+N+N+1)/2=N+2 だから ヘロンの公式により、

 S2=(N+2)(N+2-3)(N+2-N)(N+2-N-1)=2(N+2)(N-1)=2N2+2N-4 、

 4N2+4N-8=2S2 、(2N+1)2-2S2=9 です。

 (2N+1)2-S2=S2+9>0 だから、2N+1>S になり、

 2N+1-S=m (mは自然数) とおけば、

 (2N+1)2-2S2=9 より (S+m)2-2S2=9 、

 S2-2mS=m2-9 、(S-m)2=2m2-9 になります。

 m=1,2 のとき、(S-m)2<0 で 解はありません。

 m=3 のとき、(S-3)2=9 になって S=6 、2N+1-S=m より 2N+1-6=3 、N=4 です。

 m≧4 のとき、S2-2mS=S(S-2m)=m2-9>0 だから S>2m 、

 S-2m=s (sは自然数) とおけば、S=2m+s だから、

 S(S-2m)=m2-9 より (2m+s)s=m2-9 、m2-2ms=s2+9 、

 m(m-2s)=s2+9>0 だから m-2s>0 、m-s>s>0 になり、

 (m-s)2=2s2+9 が 9より大きい奇数だから、

 m-s=2n+1 (nは自然数) とおけば、

 (2n+1)2-2s2=9 、s2={(2n+1)2-9}/2=2(n+2)(n-1) です。

 2N+1-S=m ,S-2m=s ,m-s=2n+1 より、m=2n+s+1 、

 S=2m+s=2(2n+s+1)+s=4n+3s+2 、

 N=(S+m-1)/2=(4n+3s+2+2n+s+1-1)/2=3n+2s+1 です。

 よって、(N,S)=(4,6) 以外の S2=2(N+2)(N-1) を満たす自然数の組 (N,S) は、

 s2=2(n+2)(n-1) を満たす自然数の組 (n,s) により、

 (N,S)=(3n+2s+1,4n+3s+2) で与えられます。

 この対応により、(4,6) ⇒ (25,36) ⇒ (148,210) ⇒ (865,1224) ⇒ …… が得られます。


[解答2] 以前の記事を利用して

 (3+N+N+1)/2=N+2 だから ヘロンの公式により、

 S2=(N+2)(N+2-3)(N+2-N)(N+2-N-1)=2(N+2)(N-1)=2N2+2N-4 、

 4N2+4N-8=2S2 、(2N+1)2-2S2=9 です。

 ここで、3の倍数以外の平方数を3で割った余りは1だから、

 この式が成り立つのは 2N+1,S がともに3の倍数の場合だけです。

 2N+1=3x,S=3y とおけば、x2-2y2=1 です。

 この方程式の 0以上の整数解は、

 「x^2-2y^2=±1」の0以上の整数解( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-107.html )

 の記事通り、最小の解(1,0)から (x,y)に(3x+4y, 2x+3y)を次々に対応させることによって、

 (x,y)=(1,0),(3,2),(17,12),(99,70),(577,408),(3363,2378),……

 (N,S)=((3x-1)/2,3y)=(1,0),(4,3),(25,36),(148,210),(865,1224),(5044,7134),……

 最小の(N,S)=(4,3),次の3組は (N,S)=(25,36),(148,210),(865,1224) です。

.

スポンサーサイト



Comments 18

There are no comments yet.
樹☆  
No title

わぁ~今日の色は清楚な感じで
すごくすてきです。
同じ方向で・・春を浴びてるのでしょう。

おはようございます

???  
No title

VBSCRIPTを使って解きました。
k=0:N=1:kotae=""
while 4 k
N=N+1
S2=2*(N+2)*(N-1):S=int(sqr(S2))
if S*S=S2 then
k=k+1
if k 1 then kotae=kotae&","
kotae=kotae&"("&N&","&S&")"
end if
wend
msgbox kotae

ひとりしずか  
No title

しとやかな女性を思わせる色!
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
グリコのマークでしたぁ ^^;
N^2=a^2+h^2
(N+1)^2=b^2+h^2=N^2+3^2-2*3*N*cosθ
h=N*sinθ
a+b=3
で、なんとかならないものかと考えてましたが…
複雑すぎてわけわかめでダウン ^^; Orz~

ペル方程式ってのは凄いものなのねぇ☆

こっこちゃん  
No title

こんにちは

私の好きな 色です~~

名前 ホントに知らないですね 名前入れてくださると
嬉しいですが ナイス☆

ニリンソウ  
No title

花の文化園ですか~自然の林で咲いてる様な雪割草ですね
落ち葉もたっぷりなんだ。。。。フツーの公園に植えても
耐えるんです。
庭でもよほど条件が揃わないとダメなんです。
山が好きな雪割草です。
ナイス

tsuyoshik1942  
No title

解けず、皆さんへのヤドカリさんのリコメをヒントに、
「解答2のなかの記事」を探し求めました。

「ベルの方程式」は自分の領分外と決めておりましたが、今回、少し馴染めたように思います。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この色の雪割草も感じがいいですね。
紫色は私の好きな色のひとつです。

ヤドカリ  
No title

???さん、早速のコメントをありがとうございます。
名前に見覚えはあるのですが、
私は VBSCRIPTなるものを使ったことがありません。
だいたい何を計算させているかは分かります。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントをありがとうございます。
淑やかという言葉は思いつきませんでしたが、
紫色に白が混じるとそのように見えますね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
ペルの方程式は難しいですね。
でも、問題を作っていると、時々これが出てきます。
難しいけど、自然な方程式ですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この花も雪割草(オオミスミソウ)です。
前日と同じ花の色違いは優先しますが、
私は手持ちの写真からその時の気分でアップしています。
このごろよく名前をど忘れすることもありますので、

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
毎年、雪割草は花の文化園で見ているのですが、
この雪割草は長居植物園で見ました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
ペルの方程式は難しいですね。
特にこの係数のペルの方程式はよく出てきます。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
雪割草、いろいろありますが、この色もいいですね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私もこの色が素敵だと思います。
自然の中で見るためには日本海側でしょうか。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
雪割草 今年はもみじの里でも実物を見ることが出来ましたが今はすでに花も終わった発破だけが元気にしています
種も出来ているようで目が出てくれるのが楽しみです

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
雪割草はそちらでも見られるのですか、
可憐な花が見られるのは嬉しいことですね。