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[答866] 三角形の面積

ヤドカリ

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[答866] 三角形の面積


 AB=1,BC=4,∠B=40゚ の △ABC において、∠BAP=90゚ を満たす点Pを辺BC上にとるとき、

 △APCの面積は?


[解答1]

 cos120゚=4cos340゚-3cos40゚=cos40゚(4cos240゚-3)=cos40゚(4-4sin240゚-3) 、

  -1/(2cos40゚)=1-4sin240゚ です。

 △APC=△ABC-△ABP=(1/2)・4・1・sin40゚-(1/2)・1・tan40゚=sin40゚{2-1/(2cos40゚)}

  =sin40゚(2+1-4sin240゚)=3sin40゚-4sin340゚=sin120゚=(√3)/2 です。


[解答2]

 △APC=△ABC-△ABP=(1/2)・1・4sin40゚-(1/2)・1・tan40゚=2sin40゚-(1/2)tan40゚

  =(sin80゚)/(cos40゚)-(1/2)tan40゚={sin(120゚-40゚)}/(cos40゚)-(1/2)tan40゚

  =(sin120゚cos40゚-cos120゚sin40゚)/(cos40゚)-(1/2)tan40゚=sin120゚-cos120゚tan40゚-(1/2)tan40゚

  =(√3)/2+(1/2)tan40゚-(1/2)tan40゚=(√3)/2 です。

☆ 2sinθ=sin3θ-cos3θ・tanθ が成り立ちます。


[解答3]

 図のように、△ABP≡△ABD≡△EBD となるように、D,E をとり、直線DEとPBの交点をFとします。

 ∠EBF=60゚ になるので、FB=2,EF=√3 です。

 △ABC と △DFB において、底辺を BC,FB とすれば、底辺が 2:1 ,高さが 1:2 だから、

 △ABC=△DFB 、従って、△APC=△EFB=(√3)/2 です。

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Comments 16

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ひとりしずか  
No title

ジンチョウゲの白はこちらで見たことないような・・・
香り立つ花もいいですね!

樹☆  
No title

おはようございます
わたしも白はみたことがありません。すてきです。
遠くまで漂う芳香力の強さでは沈丁花が一番かも^^
香水もあるそうですよ。付けたら・・すぐわたしと
わかるでしょうか。笑

さっちゃんこ  
No title

真っ白な沈丁花!!
小さな花が輝きあってとても綺麗ですね!!
今此方でも咲いているのを良く見かけますね♪

ナイス♪

ニリンソウ  
No title

沈丁花に白花もあった?
清々しいですね~香も高貴なんでしょう。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
cos(3*40°)の式から無理矢理求めましたが…^^;
奇麗な値だったから、きっと幾何的なアプローチがあるに違いないと思ってましたら、やっぱり!!
[解答3]のような巧い方法に思い至りたいものです!! Orz~

uch*n*an  
No title

なるほど。[解答3]は見事ですね。
最初に問題を見て初等幾何の解法がありそうに思いしばし考えたものの分からず。
[解答2]のように解きました。結果を見てますます初等幾何でできそうに思ったのですが,
やどかりさんのリコメ
>初等幾何の解き方は私も思いついていません。
を見て考えるのをやめてしまいました。もう少し粘ればよかったな。残念。

tsuyoshik1942  
No title

お二人と同じく、自分も図形的な解法を考えたのですが、ゴールできませんでした。

こっこちゃん  
No title

こんばんは!(^^)!

沈丁花が咲くと 素敵な香りですよね

白は 清楚でいいですねナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
そちらには白の沈丁花は見られないのですか。
香りは変わりませんが、白い花は清楚な感じがします。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
沈丁花の香りを身に纏った春の樹ちゃんは、
秋は金木犀の香りですか?

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
白い花は傷むとその美しさがなくなりますが、
小さな白い花は長持ちするのがいいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
こちらでは白も時々見かけます。
香りの違いは分かりませんが、芳しいいい香りですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントをありがとうございます。
[解答3]は苦労して思いつきました。
こんな解き方もあるのだと自分で納得した次第です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントをありがとうございます。
リコメを書いているときには[解答3]は用意できていなかったのですが、
私も何かあると思って、考えてみました。
言い訳になりますが、こんな解き方が隠れているので、
「中学数学」「高校数学」などと書けないでいます。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
私もゴールできないことも懸念しながら、
運よく[解答3]にたどり着きました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
やはり清楚な感じがするのは白い花です。
沈丁花はは香りも良く、近づいて撮りたい花です。