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[答867] 正方形の面積

ヤドカリ

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[答867] 正方形の面積


 正方形ABCDの辺AB,BC,CD,DA上にそれぞれ点E,F,G,Hを、∠AEF=∠AHG=105゚,EF=FG=GH に

 なるようにとると、AF=34 になりました。もとの正方形ABCDの面積は?


[解答1]

 EF=FG=GH=a ,正方形ABCDの面積を S とすれば、BF=a・cos15゚ ,FC=a・cos45゚ で、

 正方形ABCDの1辺は a(cos15゚+cos45゚)=2a・cos30゚cos15゚=(√3)a・cos15゚ 、

 2乗すれば、S=3a2・cos215゚ です。

 三平方の定理より、AB2+BF2=AF2 だから、S+a2・cos215゚=342

 S+S/3=342 、4S/3=342 、S=3・342/4=3・172=867 です。


[解答2]

 対称性により、△CGFは直角二等辺三角形になり、∠CFG=45゚ 、∠BFE=15゚ だから、∠EFG=120゚ 、

 同様に ∠FGH=120゚ になり、EF=FG=GH を併せて 四角形EFGHは正六角形を二等分したものです。

 EHはその外接円の直径で、頂点Aもその外接円上にあります。

 よって、円周角 ∠EAF=30゚ 、AB=AF・(√3)/2=34・(√3)/2=17√3 、

 正方形ABCD=(17√3)2=867 です。


[解答3]

 EF=FG=GH=a とします。

 等辺が a で 頂角が 30゚ の二等辺三角形も 斜辺が a の直角二等辺三角形も 面積が a2/4 なので、

 △BEF+△DHG=△CGF 、よって、EのBCに関して対称な点をP,HのDCに関して対称な点をQ とすれば、

 正方形ABCD=五角形APFGQ です。

 五角形APFGQは、半径が AF=34 の円に内接する正十二角形の 1/4 になりますので、

 正方形ABCD=五角形APFGQ=3・342/4=3・172=867 です。

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Comments 16

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樹☆  
No title

おはようございます
すごい高木ですね。エドヒガンでしょうか。
こちらでも3日前に桜の開花でした。
これから華やぐ季節を楽しみましょう。。

ひとりしずか  
No title

桜前線到着ですネ!
こちらは今朝0℃、季節大分遅れています

ニリンソウ  
No title

桜開花嬉しい春が来ましたね。
ソメイヨシノはまだですか
こちらに咲くのは4月の中旬かな。待つ間の喜びです。

ナイス

アキチャン  
No title

こんにちわ。
やっぱりいいですね、さくら♪
いろんな桜、これからどんどん見られますね~♪

tsuyoshik1942  
No title

「解答1」もどきの三角比の計算で答えを得たのですが、別の簡明な解がありそうでしたので粘ってみました。
「解答2、解答3」とは異なり、自分は次のように<BAF=30を導きました。

EHの中点をMとすると、△MEFは正三角形、△MAEは直角二等辺三角
形。
故に、MA=MF→<MAF=15→<BAF=30→(√(3)*34/2)^2=867

tsuyoshik1942  
No title

またまた、渋滞中[869]です。
粘っても埒が明きそうにないのがさびしいです。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしは、[解答2]に近い方法で求めました♪
[解答3]は思いつきましぇん ^^;

[869]…
わたしも"箱根八里は馬でも越すが、越すに越されぬ大井川" 状況です…^^;; Orz~

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
桜の花が満開ですネ
桜も種類が多くて名前は判りませんが春を知らせてくれるありがたい花ですネ

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title


写真の花はベニスモモです。
ベニバスモモとも言います。
森ノ宮駅から大阪城公園に入る
入口の毎年見事に咲きます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
上に書きましたようにベニスモモです。
桜に似た花が沢山咲く季節ですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
桜前線ももうすぐです。
ただ、早咲きの桜は何種類か見られ、ピンクが眩いです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
こちらではソメイヨシノはまだです。
開花し始めたそうですので、開花宣言はもうすぐでしょう。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
桜の季節はもう始まっていますね。
アキチャンさんのブログで見た杏の花を私も見ました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
∠BAF=30゚ は何通りかの方法で求められると思います。
[869]はちょっと面倒かも知れません。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
[解答3]はこんな解き方もあるということで、
正方形の面積を求めるのに普通は五角形に等積変形しませんね。
[869]はごゆっくり。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
桜に似た花も多いので分かりにくいですね。
この花はベニスモモですが、桜と同じような時期に咲きます。