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[答868] 長方形と内部の四角形

ヤドカリ

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[答868] 長方形と内部の四角形


 長方形ABCDの 辺AD上に点P,BC上に点Q があり、AQとBPの交点をR,CPとDQの交点をS とします。

 AP=40,BQ=85 で 四角形PRQSの面積が長方形ABCDの面積の 1/6 であるとき、AD の長さは?


[解答]

 右図のように、台形を対角線で4個に分けるとき、上下の三角形は相似で、

 相似比を a:b とすれば、面積比は a2:b2 です。

 また、上と左右の三角形の面積比は a:b=a2:ab です。

 よって、左右の三角形の一方の面積は、台形の ab/(a2+b2+2ab)=ab/(a+b)2 です。

 台形ABQP/長方形ABCD=(AP+BQ)/(2AD) ,△PRQ/台形ABQP=AP・BQ/(AP+BQ)2 だから、

 △PRQ/長方形ABCD=AP・BQ/{2AD(AP+BQ)} 、

 同様に、△PQS/長方形ABCD=PD・QC/{2AD(PD+QC)} 、

 よって、AP・BQ/{2AD(AP+BQ)}+PD・QC/{2AD(PD+QC)}=1/6 、

 QC=x とすれば AD=BC=85+x,PD=45+x ですので、

 40・85/{2(85+x)(40+85)}+(45+x)x/{2(85+x)(45+2x)}=1/6 、

 40・85/(40+85)+(45+x)x/(45+2x)=2(85+x)/6 、136/5+(45+x)x/(45+2x)=85/3+x/3 、

 (45+x)x/(45+2x)=(17+5x)/15 、15(45+x)x=(45+2x)(17+5x) 、

 5x2+416x-765=0 、(5x-9)(x+85)=0 、x=9/5 になり、

 AD=85+x=85+9/5=434/5 になります。

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Comments 10

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樹☆  
No title

おはようございます
良い春のお天気が続きます^^
アーモンドの花でっしょうか。。
さsくら色・・すてきですね。

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
青い空にピンクの花が爽やかですね

ナイス♪

ひとりしずか  
No title

この時期アンズやももなど桜に似た花も咲くのですネ
蕾から開花すると色が薄くなって・・・

アキチャン  
No title

こんにちわ。
かわいいですね~♪(o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
同じように台形に分けて考えましたぁ ^^v
絡めた問題が巧く作れ続けられてますことに敬服/驚嘆の嵐☆
Orz~

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
アーモンドの花をよく覚えておられましたね。
桜色の綺麗な花を咲かせることを毎年感心します。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
アーモンドの花も綺麗でしょう。
この花を見るのも毎年の楽しみの1つです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
アンズの次にアーモンドの写真を使いました。
ウスイピンクの花は雰囲気を和らげます。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ピンクの花に優しさを感じますね。
青空のもとのピンクは映えます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
難しくはない問題だったと思いますが、
きちんと計算するとちょっと面倒な問題でした。