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[答83] ∠Aを最小にする辺ABの長さ

ヤドカリ

ヤドカリ



[答83] ∠Aを最小にする辺ABの長さ


 図のように、△ABCがあって、辺BCの中点をMとします。

 AC=14, AM=1 の条件の下で、∠BACが最小になるときの 辺ABの長さは?



[解答1]

 BM=MC の長さが分かりませんので、△AMCをMを中心に180゚回転し、∠B+∠C=θとします。

 このθが最大、すなわち、cosθが最小になるように、ABの長さを決めることになります。

 AB=x とすると、

 cosθ=(x2+142-22)/(2・x・14)=(x2+192)/(28x)=x/28+48/(7x)、

 相加・相乗平均の関係より、cosθ≧2√{x/28・48/(7x)}=4(√3)/7。

 等号が成り立つのは、x/28=48/(7x)、x=8√3 になります。


[解答2]

 もとの点Aが移った点Aを中心とする半径が2の円周上にあると考えれば、

 θが最大になるのは、Bともとの点Aを結ぶ直線がこの円に接するときで、

 x=√(142-22)=8√3 になります。

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Comments 10

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ヤドカリ  
No title

中線定理を使った解答が多かったのですが、ちょっとした工夫で、
三平方の定理だけで解ける問題でした。

いっちゃん  
No title

おはようございます。
いつも図解が丁寧だなって観ていました。
なるほどと思えて解けそうな気がします。(^m^)
実際は解けませんが。。><

uch*n*an  
No title

[解答2]は「なるほど!」ですが,私には,なかなか気づきそうにないです。
頭が固くなっている証拠ですね...orz

スモークマン  
No title

すぐピンとこなかったけど...
解答2は...やっとわかったり...^^;
Bから見るとき、その視度はAAが最大のときになるわけですね♪
そもそもθを合体させることに思いいたらず...^^;;

ヤドカリ  
No title

tsu*o*hi*194*さん、鍵コメを有難う御座います。
別件に関しましては、コメントが飛んでしまいました。申し訳ありません。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
「なるほど」と思って頂ければ結構です。
このブログの目的のひとつです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
貴殿の「orz」は私の記憶にありません。と、いうことで良問?と勝手に解釈します。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、数学の知識をなるべく少なく使って知恵で解決するのが醍醐味です。
そんな問題は中々浮かびません。

再出発  
No title

久々に気持ちよく解けたので私の解法を簡単に紹介させて下さい。(押し売り)
crazy_tomboさんが書かれたような方法です。
[解答2]のように回転させて作った三角形を△ABDとします。
点Dを中心に半径14の円を描きます。
BA,BDの延長と円との交点をE,Fとします。
弧EFが最大になればよいから∠A=∠Rです。
(BEと平行な弦FGを描いてみると分かり易いです)
で、[解答2]の計算になります。
が!・・・実際はこの後の計算で私は面倒なことをしてしまいました。

ヤドカリ  
No title

再出発さん、コメントを有難う御座います。
私には半径14の円のような大きな円は浮かびません。
いろいろあるものですね。