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[答869] 階乗と余り

ヤドカリ

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[答869] 階乗と余り


 次の値を 2010 で割った余りは?

 64!・1・662+63!・2・663+62!・3・664+61!・4・665+……+0!・65・6666


[解答]

 下記の理由により、与えられた式の値を A とすれば、A=66!-1 です。

 67は素数だからウィルソンの定理より、66!+1 は 67 の倍数です。

 また、66! は 30 の倍数です。

 66!=67x-1=30y とおいて、30(2x-y)+7x=1 、

 両辺に 30・3-7・13=-1 を加え、30(2x-y+3)+7(x-13)=0 、

 x-13 は 30 の倍数だから自然数nを用いて x=30n+13 と表され、

 66!+1=67x=2010n+871 、A=66!-1=2010n+869 となって、余りは 869 です。


[理由1]

 A/66!=64!・1/(64!・2!)+63!・2/(63!・3!)+62!・3/(62!・4!)+61!・4/(61!・5!)+……+0!・65/(0!・66!)

  =1/2!+2/3!+3/4!+4/5!+……+65/66! です。

 (k-1)/k!=1/(k-1)!-1/k! において k=2 から k=66 までの和をとると、

 A/66!=1-1/66! だから、A=66!-1 です。


[理由2] たけちゃんさんのコメントより

 与えられた式の値を A とする.

 k!・(65-k)・6666-k66k・(65-k)であるから,

 A=6664・1+6663・2+6662・3+…+660・65 .

 よって,A は

  (a) 1から66までのうちの0個~64個を任意に選んで並べ,

  (b) 残りから,最小以外の数を選んで追加し,

  (c) 残りを小さい順に追加する

 ことによってできる並べ方の数である.

 後ろから見て,初めて数が増えたところが(ii)で追加した数であり,

 66! 通りのうち,全体が昇順となる1通りが除かれるので,A=66!-1 .

.

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Comments 10

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tsuyoshik1942  
No title

「理由1」によって、与式=66!-1は得ましたが、これが解答に近づいたのか、逆に遠のいたのか判断できませんでした。
というのも、このあとのmod(66!-1,2010)の解きほどきが全く進まず、解の道筋は「二項定理の何らかの計算」かと勝手読みしました。
ウイルソンの定理、記憶にとどめます。

結局、解けなかったのですが、電卓で以下のように計算できることに甘んじ、また努力の証として解答を送信させていただきました。
(66*65-4020)*64-16080.....=870→870-1=869

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
木蓮が綺麗ですね!!
紫木蓮にも花びらが内側は白いものから始まり全体が紫1色のものなど色んな種類が有りますね
今もみじの里でも紫木蓮が咲いています♪

ナイス♪

ひとりしずか  
No title

これくらいの咲き加減がいいですね!

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
さっぱりでしたので…^^;...熟読ぅ~☆
A=66P64・1+66P63・2+66P62・3+…+66P0・65
から、
A/66!=1/2!+2/3!+3/4!+4/5!+……+65/66!
は理解できましたぁ☆
but...そのあとの変形は気づけなかっただろうなぁ…^^;…
A=66!-1 とわかれば…and...ウイルソンの定理にも気づければ…
A+1≡0 (mod 30)・・・A=30*s-1
A+2≡0 (mod 67)・・・A=67*t-2
から…s=29, t=13
so…A=30*29-1=869 (mod 2010)
と考えればいいのですよね ^^ Orz~

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
ウィルソンの定理は美しい定理ですが、
素数の判定にはあまり役立ちません。
たまにうまく使えることがあります。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントをありがとうございます。
白木蓮の後に、紫木蓮が咲きだします。
青空の下でなくても存在感があります。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
あまり開くと形がくずれ、色もだんだん悪くなります。
大きな花は咲きだした頃が綺麗ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
A=66!-1 を求めることと
ウイルソンの定理を使えるかどうかの問題でした。

風 草  
No title

木蓮、綺麗ですね~
優しい花色で、見ていて心が和みます。
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

風草さん、コメントとナイス!をありがとうございます。
紫木蓮はこちらでは今いちばん美しい時だと思います。
沢山の花がつくのもいいですね。