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[答870] 数列の極限が自然数

ヤドカリ

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[答870] 数列の極限が自然数


 A を負でない整数の定数とし、a1=1,an+1=A+√an (n=1,2,3,……) で表される数列{ an }の

 n→∞ のときの極限が自然数となるような A の値のうち、小さい方から 30番目は?


[解答1]

 図のように、この極限は y=A+√x と y=x の交点のx座標になり、x=A+√x の解です。

 ( A=0 のときも、a1=a2=a3=……=1 なので 極限も 1 で成り立ちます )

 x-√x-A=0 を解けば、√x={1+√(1+4A)}/2 、x={1+2A+√(1+4A)}/2 ですので、

 √(1+4A) が自然数になるときに限り、√(1+4A) は奇数ですので x は自然数になります。

 このとき、自然数 m を用いて 1+4A=(2m-1)2 と表され、

 4A=(2m-1)2-1=2m(2m-2) 、A=m(m-1) です。

 小さい方から 30番目は m=30 のときで、A=30(30-1)=870 です。


[解答2]

 図のように、この極限は y=A+√x と y=x の交点のx座標になり、x=A+√x の解です。

 ( A=0 のときも、a1=a2=a3=……=1 なので 極限も 1 で成り立ちます )

 A=x-√x において、xが平方数のときに限り Aは整数で、x=0,1 のとき A=0 、

 x≧1 において Aを xの関数と見れば 狭義単調増加になり、

 小さい方から 30番目は x=302 のときで、A=302-30=870 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

トサミズキですね!
ヒュウガミズキと趣が大分違います。

アキチャン  
No title

こんにちわ。
今年は、お花を撮るのが少なく、この種のお花はとっていません。こちらで楽しませていただいます(o^-^o)

tsuyoshik1942  
No title

厳密に採点されたら正解とは言えそうにありませんが、極限状態では
X=A+√xになると考えました。

「861~870」では難儀な問題に苦しめられました。新しい知見もあり楽しませていただきました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ヒュウガミズキの黄色一色とは違い、赤い色がアクセントになります。
仰る通り、趣はだいぶ違いますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この種の花に限らず、黄色が目立つ季節です。
こんな写真で良かったら、楽しんで下さい。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
極限については収束することを確かめる必要があると思います。
面倒な問題に対してもいつも解答を頂き有難うございます。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
この850~870にはわからない問題が続いて困ったもんだいのわたしでしたぁ ^^;…but...解答を見てなるほど合点っと了解できるものもあり…収穫が無事できたかどうかは措いておくとしても面白かったです♪
この問題は、安易に解いてしまいましたが...グラフから交わる=収束点の存在は明らかだし、x=平方数であることも明らかでしたのねぇ☆
Orz~

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
トサミズキ 蕊の赤い色が良いですネ
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
数学を楽しんで頂くためのブログですので、
合点してくれた問題が何問かでもあれば嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントをありがとうございます。
トサミズキの赤い蕊よりヒュウガミズキの黄色の方が上品な感じがします。
あすはヒュウガミズキをアップするつもりです。