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[答871] 黒石の置き方

ヤドカリ

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[答871] 黒石の置き方


 図のように横に並んだ 18 マスの正方形のいくつかに黒石を、

 「黒石は隣り合う2マスに置き、連続する3マス以上には置かない」という条件で置きます。

 置き方は全部で何通り? 黒石は2個以上の偶数個を置くことになります。


[解答1]

 石を置く場所を●,置かない場所を×で表すことにします。

 ×××××××××××××××× の間または端に ●● の置き方は 171=17 通り、

 ×××××××××××××× の間または端に ●● 2組の置き方は 152=105 通り、

 ×××××××××××× の間または端に ●● 3組の置き方は 133=286 通り、

 ×××××××××× の間または端に ●● 4組の置き方は 114=330 通り、

 ×××××××× の間または端に ●● 5組の置き方は 95=126 通り、

 ×××××× の間または端に ●● 6組の置き方は 76=7 通り、

 よって、17+105+286+330+126+7=871 通りです。


[解答2]

 石を置く場所を●,置かない場所を×で表すことにします。

 ●● の端に × 16個の置き方は 216=17 通り、

 ●●×●● の間または端に × 13個の置き方は 313=105 通り、

 ●●×●●×●● の間または端に × 10個の置き方は 410=286 通り、

 ●●×●●×●●×●● の間または端に × 7個の置き方は 57=330 通り、

 ●●×●●×●●×●●×●● の間または端に × 4個の置き方は 64=126 通り、

 ●●×●●×●●×●●×●●×●● の間または端に × 1個の置き方は 7 通り、

 よって、17+105+286+330+126+7=871 通りです。


[解答3]

 石を全然置かない場合も条件に合うものとして、

 n マスの正方形の場合の置き方を an 通りとすれば、そのうち、

 右端のマスに石が ない場合の数は an-1 通り,ある場合の数は an-3 通りです。

 よって、an=an-1+an-3 です。

 a1=1 ,a2=2 ,a3=3 だから、

 a4=a3+a1=4 ,a5=a4+a2=6 ,a6=a5+a3=9 ,a7=a6+a4=13 ,a8=a7+a5=19 ,a9=a8+a6=28 ,

 a10=a9+a7=41 ,a11=a10+a8=60 ,a12=a11+a9=88 ,a13=a12+a10=129 ,a14=a13+a11=189 ,

 a15=a14+a12=277 ,a16=a15+a13=406 ,a17=a16+a14=595 ,a18=a17+a15=872 、

 求める場合の数は、石を全然置かない場合を除いて 871 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
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春蘭ですね!
我が家のも3輪咲き揃っています

さっちゃんこ  
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おはようございます♪
春蘭ですか!?
黄色の花がとても可愛いですね!!
ナイス♪

ニリンソウ  
No title

庭でも咲いてきましたが・・・・・
山でみるシュンランが一段と綺麗でした。
お辞儀していますね。

ナイス

tsuyoshik1942  
No title

「解答2」でした。
「解答3」の手法も考えたのですが、すぐには解けず、解答2ですんなり解けたのでさらなる追求は怠りました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
シュンランも出会うと春を感じる花のひとつです。
そちらも春らしくなってきたのですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
シュンランは蘭といってもひっそりと咲く花で可憐です。
黄色の花がポツンと咲いていると嬉しくなります。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
山道でシュンランに出会えるといいですね。
このごろ山へ行く機会がないので私には無理ですが。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
こんな問題は1つの解法でなく、別の解法も思いつきたいものです。
違う解き方でも正しい考え方で同じ答が出るのも醍醐味です。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
わたしも、[解答2]でした…^^
漸化式の考え方はいつも言われてみると自然な発想で感心しますが…
最初の場合分けに気づきにくいわたしです…^^; Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
漸化式を自然な発想と考えられるのは結構なことです。
このブログに毒されてきたからかも知れません。