[答875] 対数の最大値

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[答875] 対数の最大値


　a＞0，b＞0，c＞0 とするとき、log₄｛abc/(a²＋b⁴＋c⁸＋1)｝ の最大値は？


[解答]

　a²＋b⁴＋c⁸＋1＝a²/4＋a²/4＋a²/4＋a²/4＋b⁴/2＋b⁴/2＋c⁸＋1 、

　相加･相乗平均の関係より、

　(a²/4＋a²/4＋a²/4＋a²/4＋b⁴/2＋b⁴/2＋c⁸＋1)/8≧⁸√｛(a²/4)･(a²/4)･(a²/4)･(a²/4)･(b⁴/2)･(b⁴/2)･c⁸･1｝ 、

　⁸√｛(a²/4)･(a²/4)･(a²/4)･(a²/4)･(b⁴/2)･(b⁴/2)･c⁸･1｝＝2^-5/4abc だから、

　a²＋b⁴＋c⁸＋1≧8･2^-5/4abc＝2^7/4abc 、

　log₄｛abc/(a²＋b⁴＋c⁸＋1)｝≦log₄abc/(2^7/4abc)＝log₄2^-7/4＝－7/8 、

　最大値は、－7/8 で、

　最大値をとるのは、 a²/4＝b⁴/2＝c⁸＝1 だから、 a＝2 ， b＝⁴√2 ，c＝1 のときです。

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