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[答875] 対数の最大値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答875] 対数の最大値


 a>0,b>0,c>0 とするとき、log4{abc/(a2+b4+c8+1)} の最大値は?


[解答]

 a2+b4+c8+1=a2/4+a2/4+a2/4+a2/4+b4/2+b4/2+c8+1 、

 相加・相乗平均の関係より、

 (a2/4+a2/4+a2/4+a2/4+b4/2+b4/2+c8+1)/8≧8√{(a2/4)・(a2/4)・(a2/4)・(a2/4)・(b4/2)・(b4/2)・c8・1} 、

 8√{(a2/4)・(a2/4)・(a2/4)・(a2/4)・(b4/2)・(b4/2)・c8・1}=2-5/4abc だから、

 a2+b4+c8+1≧8・2-5/4abc=27/4abc 、

 log4{abc/(a2+b4+c8+1)}≦log4abc/(27/4abc)=log42-7/4=-7/8 、

 最大値は、-7/8 で、

 最大値をとるのは、 a2/4=b4/2=c8=1 だから、 a=2 , b=4√2 ,c=1 のときです。

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Comments 16

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さっちゃんこ  
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おはようございます
ハナズオウが鮮やかですネ
とても奇麗です
ナイス☆彡

樹☆  
No title

おはようございます。
豆科っぽい紫の花がかわいいですね。

ひとりしずか  
No title

ハナズオウきれいですね~
庭の隅にあり、小~ちゃなが蕾ついていますが・・・

アキチャン  
No title

おはようございます。
詰まって咲いてきれいですね(o^-^o)

こっこちゃん  
No title

ハナズオウですね

桜が終わったころに 楽しめますね ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
相加相乗は...本当に楽チンな武器ですね ^^
その使い方はここで習いましたぁ Orz~
その武器使用を禁じられたらば...どう対処すればいいんでしょか知らん…^^;...

tsuyoshik1942  
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「解答」の手法があるはずと思えど解けず、微分で答えを得ました。
その後、やどかりさんの皆さんへのリコメを拝見し、再挑戦しましたが、結局ゴールできませんでした。
この手法は、ここで何度も勉強させていただき、その都度その時点では分かったような気になるのですが、少しひねられると応用がききません。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントをありがとうございます。
ハナズオウは桜の終わるころ鮮やかに咲きます。
遠目には分かりませんが、マメ科の整った花ですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
可愛い花がたくさん、競って咲いている姿がいいですね。
枝に密集して不思議な咲き方をします。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
東北ではまだ小さな蕾ですか。
たくさんの花が咲く季節はもうすぐですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
何故こんなに密集して咲くのかは知りませんが、
花が固まって咲いている姿はいいですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
こっこちゃんさんのブログにもあったハナズオウですね。
この花はこちらでも今が満開で綺麗です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
相加相乗はの使用を禁じられたら、偏微分ですか。
計算が面倒なので、あまりする気になりません。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
多分、相加相乗で解けそうだと気づいておられたのでしょう。
ちょっとしたテクニックで持ち込めますね。

ニリンソウ  
No title

こんな撮り方もあるんですね。
マメ科が良くわかります。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
綺麗に咲いている花の形が分かるように撮りました。
結果的にこんな写真になりました。