FC2ブログ

Welcome to my blog

[答876] 外接円の半径で分割

ヤドカリ

ヤドカリ



[答876] 外接円の半径で分割


 鋭角三角形ABCとその外心Oについて、面積が △OBC=64 ,△OCA=119 ,△OAB=132 のとき、

 外接円の半径 R=? また、辺の比 BC:CA:AB=?


[解答1]

 △OBC:△OCA:△OAB=(R2/2)sin2A:(R2/2)sin2B:(R2/2)sin2C=sin2A:sin2B:sin2C だから、

 sin2A=64k,sin2B=119k,sin2C=132k とおくことができます。

 sin2B+sin2C-sin2A=2sin(B+C)cos(B-C)-sin2A=2sin(π-B-C)cos(B-C)-sin2A

  =2sinAcos(B-C)-sin2A=2sinAcosAcos(B-C)/cosA-sin2A=sin2A{cos(B-C)/cosA-1} 、

 よって、cos(B-C)/cosA-1=(sin2B+sin2C-sin2A)/sin2A です。

 cos(B-C)/cosA-1=cos(B-C)/cosA+cos(B+C)/cosA=2cosBcosC/cosA ですので、

 cosBcosC/cosA=(sin2B+sin2C-sin2A)/(2sin2A)=(sin2A+sin2B+sin2C)/(2sin2A)-1 、

 sin2A+sin2B+sin2C=64k+119k+132k=315k だから、cosBcosC/cosA=315k/(2sin2A)-1 、

 cosBcosC/cosA=315k/(2・64k)-1=187/128 ……(1) になり、同様に、

 cosCcosA/cosB=315k/(2・119k)-1=11/34 ……(2) ,

 cosAcosB/cosC=315k/(2・132k)-1=17/88 ……(3) 、

 (1)×(2)×(3) より cosAcosBcosC=187/2048 ……(4) 、

 (4)÷(1) ,(4)÷(2) ,(4)÷(3) より、cos2A=1/16 ,cos2B=289/1024 ,cos2C=121/256 、

 sin2A=1-cos2A=15/16 ,sin2B=1-cos2B=735/1024 ,sin2C=1-cos2C=135/256 、

 coaA=1/4 ,sinA=(√15)/4 ,sinB=(7√15)/32 ,sinC=(3√15)/16 です。

 △OBC=(R2/2)sin2A=R2sinAcosA 、64=R2(√15)/16 、R=32/4√15 、

 また、正弦定理より BC:CA:AB=sinA:sinB:sinC=1/4:7/32:3/16=8:7:6 です。

 △ABC=2R2sinAsinBsinC を使えば、315=R2・(315√15)/1024 より R=32/4√15 です。


[解答2] たけちゃんさんの解答より

 △OBC=α,△OCA=β,△OAB=γ と一般化する.

 直線AOと辺BCの交点をD,直線AOと外接円のA以外の交点をEとすると,

 BD:DC=γ:βより,BD=γBC/(β+γ),DC=βBC/(β+γ) .

 AO:OD=(β+γ):αより,AO:OD:DE=(β+γ):α:(-α+β+γ) であり,

 AD=(α+β+γ)R/(β+γ),DE=(-α+β+γ)R/(β+γ) .

 方べきの定理より,

 βγ{BC/(β+γ)}2=(α+β+γ)(-α+β+γ){R/(β+γ)}2

 BC=R√{(α+β+γ)(-α+β+γ)/βγ} .

 同様にして,

 CA=R√{(α+β+γ)(α-β+γ)/αγ} ,AB=R√{(α+β+γ)(α+β-γ)/αβ} を得て,

 BC:CA:AB=√{α(-α+β+γ)}:√{β(α-β+γ)}:√{γ(α+β-γ)} .

 α=64,β=119,γ=132であるから,

 BC:CA:AB=8:7:6 .

 さらに,R=2BC/√15 が得られる.

 3辺が8,7,6である三角形の面積は,(21√15)/4 であり,

 三角形ABCの面積はその4√15倍より,BC=16・4√15 となって,R=32/4√15 .


[解答3] uch*n*anさんの解答より

 太字はベクトルを表すものとします。

 OBbOCc,x,yを正の実数として,OA=-xb-yc,とおきます。

 △OBC=|b×c|/2=64,|b×c|=128,

 △OCA=|c×(-xb-yc)|/2=x|b×c|/2=119,x=119/64,

 △OAB=|(-xb-ycb|/2=y|b×c|/2=132,y=33/16,

 OA=-xb-yc=-(119b+66c)/64,です。

 |-xb-yc|=|b|=|c|=Rより,|-xb-yc|2=(x2+y2)R2+2xy(bc)=R2

 bc=(1-x2-y2)R2/(2xy)={1-(119/64)2-(33/16)2}R2/{2(119/64)(33/16)}=(-7/8)R2

 一方で,|b×c|2+|bc|2=(|b||c|)2,なので,

 1282+{(-7/8)R22=R4,(15/64)R4=214,R4=220/15,R=32・15-1/4

 さらに,

 BC2=|cb|2=|c|2-2(bc)+|b|2=R2+(7/4)R2+R2=(15/4)R2

 CA2=|(-xb-yc)-c|2=|-xb-yc|2+2x(bc)+(2y+1)|c|2

  =R2-(119/32)(7/8)R2+(33/8+1)R2=(735/256)R2

 AB2=|b-(-xb-yc)|2=(1+2x)|b|2+2y(bc)+|-xb-yc|2

  =(1+119/32)R2-(33/8)(7/8)R2+R2=(135/64)R2

 BC2:CA2:AB2={(15/4)R2}:{(735/256)R2}:{(135/64)R2}=64:49:36,BC:CA:AB=8:7:6,です。

 結局,R=32・15-1/4,BC:CA:AB=8:7:6,になります。


[解答4]

 △OBC,△OCA,△OAB の BC,CA,AB を底辺とする高さを a,b,c とします。

 3個の二等辺三角形を2等分し並べかえると 半径Rの半円内に収まる四角形になります。

 この四角形を分けた面積比は 2a・2R:2b・2c=2・64:(119+132-64)=128:187 、

 aR/(bc)=128/187 、同様に、bR/(ca)=34/11 、cR/(ab)=88/17 になります。

 aR/(bc):bR/(ca):cR/(ab)=128/187:34/11:88/17 だから、

 a2:b2:c2=64:289:484 、a:b:c=8:17:22 、

 BC:CA:AB=64/a:119/b:132/c=64/8:119/17:132/22=8:7:6 です。

 次に、a=8k,b=17k,c=22k とおきます。

 aR/(bc)=128/187 より 8kR/(17k・22k)=128/187 、R=32k=4a 、

 a√(R2-a2)=64 だから、a2√15=64 、a=8/4√15 、R=4a=32/4√15 です。


★ 本問は、[562] https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-1596.html の類題です。

.

スポンサーサイト



Comments 19

There are no comments yet.
さっちゃんこ  
No title

おはようございます
緑のカーテンの様な枝垂れに初夏の風を感じますね
此処まで爽やかな風が届いてきそうです
ナイス☆彡

ひとりしずか  
No title

ヤナギ?
風情がすきです!

ゆうこ つれづれ日記  
No title

枝垂れ柳なのですか?
柳の葉にカエルが飛びつく絵が見えてきそう・・・^_^;
ナイス☆

uch*n*an  
No title

これは,以前に類題があったなー,と思いながら解きました。私の解法は四つ。
(解法1)は,以前の類題のやどかりさんの解答を覚えていてそれをまねたものです。
若干式変形が違いますが[解答1]と等価です。
(解法2)は,[解答3]です。ベクトルの外積は平面幾何でも結構役に立つという例です。
(解法3)は,(解法1)と同様に三角比による解法ですが,ずっとプリミティブだと思います。
(解法4)は,初等幾何による解法で,ある意味[解答2]と等価だと思いますが,
外接円上の点 E を考えなかったので方べきの定理の代わりに三平方の定理を使い,
余計な手間がかかっているように思います。
[解答2]と[解答4]は見事かつ美しいですね。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
△の面積が中心角のsinに比例し、辺は1-cos=1-√(1-sin^2) に比例することから解きました([解答1]に近いのかなぁ?)が…中心角がすべて鈍になることが上手くわかりませんでした…^^;…つまり、じっさいは…1+√(1-sin^2) になるようなので…Orz~

すべて熟読玩味ぃ~☆

アキチャン  
No title

こんにちわ。
柳でしょうか。。きれいですね~♪(o^-^o)

tsuyoshik1942  
No title

解けず!リコメの示唆から過去問を探し出しました。
[562]も、自分はやはり解けておりませんでした。
「本問解答」じっくり読ませていただきます。

樹☆  
No title

こんばんは

すご~い。。若葉・・すてきですねぇ~
清々しい気持ち。。

風 草  
No title

しだれ柳の花でしょうか?
黄緑のすだれが清々しいですね。

ナイス☆

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
まさに緑のカーテンのような枝垂れ柳でした。
その雰囲気を写真に撮るのは難しいものです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
柳の生命力を感じます。
花はあまり目立ちませんが、黄緑が綺麗でした。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ゆうこさんは柳がお好きだったように記憶しています。
当方でも蛙が活躍する時期にはまだ早いです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントをありがとうございます。
私は以前の出題をすっかり忘れていて、
何人かの指摘で思い出しました。
[解答4]を思いついて、問題番号に合うように数値を設定しました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
三角比を使って解くのが定番でしょうが、
いろいろと工夫できる問題です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
そちらも同じような気候ですので、柳もよく見られるでしょう。
柳に限らず、新緑はいいものです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
いろいろと解法のある問題です。
[解答4]が一番簡単だと思いますが、気づけるかどうか……。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
柳の下を通ると無性に撮りたくなりました。
強い風が吹いても受け流しましょう。

ニリンソウ  
No title

枝垂れ柳をこんな風に撮る!
面白いですね~別の植物にみえました。
今の時期が一番美しいかもしれませんね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
柳が見えて、近づくとけっこう高い。
下から見上げたままを撮れば、こんな写真になりました。