[答876] 外接円の半径で分割
[答876] 外接円の半径で分割
鋭角三角形ABCとその外心Oについて、面積が △OBC=64 ,△OCA=119 ,△OAB=132 のとき、
外接円の半径 R=? また、辺の比 BC:CA:AB=?
[解答1]
△OBC:△OCA:△OAB=(R2/2)sin2A:(R2/2)sin2B:(R2/2)sin2C=sin2A:sin2B:sin2C だから、
sin2A=64k,sin2B=119k,sin2C=132k とおくことができます。
sin2B+sin2C-sin2A=2sin(B+C)cos(B-C)-sin2A=2sin(π-B-C)cos(B-C)-sin2A
=2sinAcos(B-C)-sin2A=2sinAcosAcos(B-C)/cosA-sin2A=sin2A{cos(B-C)/cosA-1} 、
よって、cos(B-C)/cosA-1=(sin2B+sin2C-sin2A)/sin2A です。
cos(B-C)/cosA-1=cos(B-C)/cosA+cos(B+C)/cosA=2cosBcosC/cosA ですので、
cosBcosC/cosA=(sin2B+sin2C-sin2A)/(2sin2A)=(sin2A+sin2B+sin2C)/(2sin2A)-1 、
sin2A+sin2B+sin2C=64k+119k+132k=315k だから、cosBcosC/cosA=315k/(2sin2A)-1 、
cosBcosC/cosA=315k/(2・64k)-1=187/128 ……(1) になり、同様に、
cosCcosA/cosB=315k/(2・119k)-1=11/34 ……(2) ,
cosAcosB/cosC=315k/(2・132k)-1=17/88 ……(3) 、
(1)×(2)×(3) より cosAcosBcosC=187/2048 ……(4) 、
(4)÷(1) ,(4)÷(2) ,(4)÷(3) より、cos2A=1/16 ,cos2B=289/1024 ,cos2C=121/256 、
sin2A=1-cos2A=15/16 ,sin2B=1-cos2B=735/1024 ,sin2C=1-cos2C=135/256 、
coaA=1/4 ,sinA=(√15)/4 ,sinB=(7√15)/32 ,sinC=(3√15)/16 です。
△OBC=(R2/2)sin2A=R2sinAcosA 、64=R2(√15)/16 、R=32/4√15 、
また、正弦定理より BC:CA:AB=sinA:sinB:sinC=1/4:7/32:3/16=8:7:6 です。
△ABC=2R2sinAsinBsinC を使えば、315=R2・(315√15)/1024 より R=32/4√15 です。
[解答2] たけちゃんさんの解答より
△OBC=α,△OCA=β,△OAB=γ と一般化する.
直線AOと辺BCの交点をD,直線AOと外接円のA以外の交点をEとすると,
BD:DC=γ:βより,BD=γBC/(β+γ),DC=βBC/(β+γ) .
AO:OD=(β+γ):αより,AO:OD:DE=(β+γ):α:(-α+β+γ) であり,
AD=(α+β+γ)R/(β+γ),DE=(-α+β+γ)R/(β+γ) .
方べきの定理より,
βγ{BC/(β+γ)}2=(α+β+γ)(-α+β+γ){R/(β+γ)}2 .
BC=R√{(α+β+γ)(-α+β+γ)/βγ} .
同様にして,
CA=R√{(α+β+γ)(α-β+γ)/αγ} ,AB=R√{(α+β+γ)(α+β-γ)/αβ} を得て,
BC:CA:AB=√{α(-α+β+γ)}:√{β(α-β+γ)}:√{γ(α+β-γ)} .
α=64,β=119,γ=132であるから,
BC:CA:AB=8:7:6 .
さらに,R=2BC/√15 が得られる.
3辺が8,7,6である三角形の面積は,(21√15)/4 であり,
三角形ABCの面積はその4√15倍より,BC=16・4√15 となって,R=32/4√15 .
[解答3] uch*n*anさんの解答より
太字はベクトルを表すものとします。
OB=b,OC=c,x,yを正の実数として,OA=-xb-yc,とおきます。
△OBC=|b×c|/2=64,|b×c|=128,
△OCA=|c×(-xb-yc)|/2=x|b×c|/2=119,x=119/64,
△OAB=|(-xb-yc)×b|/2=y|b×c|/2=132,y=33/16,
OA=-xb-yc=-(119b+66c)/64,です。
|-xb-yc|=|b|=|c|=Rより,|-xb-yc|2=(x2+y2)R2+2xy(b・c)=R2,
b・c=(1-x2-y2)R2/(2xy)={1-(119/64)2-(33/16)2}R2/{2(119/64)(33/16)}=(-7/8)R2,
一方で,|b×c|2+|b・c|2=(|b||c|)2,なので,
1282+{(-7/8)R2}2=R4,(15/64)R4=214,R4=220/15,R=32・15-1/4,
さらに,
BC2=|c-b|2=|c|2-2(b・c)+|b|2=R2+(7/4)R2+R2=(15/4)R2,
CA2=|(-xb-yc)-c|2=|-xb-yc|2+2x(b・c)+(2y+1)|c|2
=R2-(119/32)(7/8)R2+(33/8+1)R2=(735/256)R2,
AB2=|b-(-xb-yc)|2=(1+2x)|b|2+2y(b・c)+|-xb-yc|2
=(1+119/32)R2-(33/8)(7/8)R2+R2=(135/64)R2,
BC2:CA2:AB2={(15/4)R2}:{(735/256)R2}:{(135/64)R2}=64:49:36,BC:CA:AB=8:7:6,です。
結局,R=32・15-1/4,BC:CA:AB=8:7:6,になります。
[解答4]
△OBC,△OCA,△OAB の BC,CA,AB を底辺とする高さを a,b,c とします。
3個の二等辺三角形を2等分し並べかえると 半径Rの半円内に収まる四角形になります。
この四角形を分けた面積比は 2a・2R:2b・2c=2・64:(119+132-64)=128:187 、
aR/(bc)=128/187 、同様に、bR/(ca)=34/11 、cR/(ab)=88/17 になります。
aR/(bc):bR/(ca):cR/(ab)=128/187:34/11:88/17 だから、
a2:b2:c2=64:289:484 、a:b:c=8:17:22 、
BC:CA:AB=64/a:119/b:132/c=64/8:119/17:132/22=8:7:6 です。
次に、a=8k,b=17k,c=22k とおきます。
aR/(bc)=128/187 より 8kR/(17k・22k)=128/187 、R=32k=4a 、
a√(R2-a2)=64 だから、a2√15=64 、a=8/4√15 、R=4a=32/4√15 です。
★ 本問は、[562] https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-1596.html の類題です。
.