[答876] 外接円の半径で分割

[答876] 外接円の半径で分割


　鋭角三角形ABCとその外心Oについて、面積が △OBC＝64 ，△OCA＝119 ，△OAB＝132 のとき、

　外接円の半径 R＝？　また、辺の比 BC：CA：AB＝？


[解答1]

　△OBC：△OCA：△OAB＝(R²/2)sin2A：(R²/2)sin2B：(R²/2)sin2C＝sin2A：sin2B：sin2C だから、

　sin2A＝64k，sin2B＝119k，sin2C＝132k とおくことができます。

　sin2B＋sin2C－sin2A＝2sin(B＋C)cos(B－C)－sin2A＝2sin(π－B－C)cos(B－C)－sin2A

　 ＝2sinAcos(B－C)－sin2A＝2sinAcosAcos(B－C)/cosA－sin2A＝sin2A｛cos(B－C)/cosA－1｝ 、

　よって、cos(B－C)/cosA－1＝(sin2B＋sin2C－sin2A)/sin2A です。

　cos(B－C)/cosA－1＝cos(B－C)/cosA＋cos(B＋C)/cosA＝2cosBcosC/cosA ですので、

　cosBcosC/cosA＝(sin2B＋sin2C－sin2A)/(2sin2A)＝(sin2A＋sin2B＋sin2C)/(2sin2A)－1 、

　sin2A＋sin2B＋sin2C＝64k＋119k＋132k＝315k だから、cosBcosC/cosA＝315k/(2sin2A)－1 、

　cosBcosC/cosA＝315k/(2･64k)－1＝187/128 ……(1)　になり、同様に、

　cosCcosA/cosB＝315k/(2･119k)－1＝11/34 ……(2) ，

　cosAcosB/cosC＝315k/(2･132k)－1＝17/88 ……(3) 、

　(1)×(2)×(3) より cosAcosBcosC＝187/2048 ……(4) 、

　(4)÷(1) ，(4)÷(2) ，(4)÷(3) より、cos²A＝1/16 ，cos²B＝289/1024 ，cos²C＝121/256 、

　sin²A＝1－cos²A＝15/16 ，sin²B＝1－cos²B＝735/1024 ，sin²C＝1－cos²C＝135/256 、

　coaA＝1/4 ，sinA＝(√15)/4 ，sinB＝(7√15)/32 ，sinC＝(3√15)/16 です。

　△OBC＝(R²/2)sin2A＝R²sinAcosA 、64＝R²(√15)/16 、R＝32/⁴√15 、

　また、正弦定理より BC：CA：AB＝sinA：sinB：sinC＝1/4：7/32：3/16＝8：7：6 です。

　△ABC＝2R²sinAsinBsinC を使えば、315＝R²･(315√15)/1024 より R＝32/⁴√15 です。


[解答2] たけちゃんさんの解答より

　△OBC＝α，△OCA＝β，△OAB＝γ と一般化する．

　直線AOと辺BCの交点をD，直線AOと外接円のA以外の交点をEとすると，

　BD：DC＝γ：βより，BD＝γBC/(β＋γ)，DC＝βBC/(β＋γ) ．

　AO：OD＝(β＋γ)：αより，AO：OD：DE＝(β＋γ)：α：(－α＋β＋γ) であり，

　AD＝(α＋β＋γ)R/(β＋γ)，DE＝(－α＋β＋γ)R/(β＋γ) ．

　方べきの定理より，

　βγ｛BC/(β＋γ)｝²＝(α＋β＋γ)(－α＋β＋γ)｛R/(β＋γ)｝² ．

　BC＝R√｛(α＋β＋γ)(－α＋β＋γ)/βγ｝ ．

　同様にして，

　CA＝R√｛(α＋β＋γ)(α－β＋γ)/αγ｝ ，AB＝R√｛(α＋β＋γ)(α＋β－γ)/αβ｝ を得て，

　BC：CA：AB＝√｛α(－α＋β＋γ)｝：√｛β(α－β＋γ)｝：√｛γ(α＋β－γ)｝ ．

　α＝64，β＝119，γ＝132であるから，

　BC：CA：AB＝8：7：6 ．

　さらに，R＝2BC/√15 が得られる．

　3辺が8，7，6である三角形の面積は，(21√15)/4 であり，

　三角形ABCの面積はその4√15倍より，BC＝16･⁴√15 となって，R＝32/⁴√15 ．


[解答3] uch*n*anさんの解答より

　太字はベクトルを表すものとします。

　OB＝b，OC＝c，x，yを正の実数として，OA＝－xb－yc，とおきます。

　△OBC＝|b×c|/2＝64，|b×c|＝128，

　△OCA＝|c×(－xb－yc)|/2＝x|b×c|/2＝119，x＝119/64，

　△OAB＝|(－xb－yc)×b|/2＝y|b×c|/2＝132，y＝33/16，

　OA＝－xb－yc＝－(119b＋66c)/64，です。

　|－xb－yc|＝|b|＝|c|＝Rより，|－xb－yc|²＝(x²＋y²)R²＋2xy(b･c)＝R²，

　b･c＝(1－x²－y²)R²/(2xy)＝｛1－(119/64)²－(33/16)²｝R²/｛2(119/64)(33/16)｝＝(－7/8)R²，

　一方で，|b×c|²＋|b･c|²＝(|b||c|)²，なので，

　128²＋｛(－7/8)R²｝²＝R⁴，(15/64)R⁴＝2¹⁴，R⁴＝2²⁰/15，R＝32･15^-1/4，

　さらに，

　BC²＝|c－b|²＝|c|²－2(b･c)＋|b|²＝R²＋(7/4)R²＋R²＝(15/4)R²，

　CA²＝|(－xb－yc)－c|²＝|－xb－yc|²＋2x(b･c)＋(2y＋1)|c|²

　 ＝R²－(119/32)(7/8)R²＋(33/8＋1)R²＝(735/256)R²，

　AB²＝|b－(－xb－yc)|²＝(1＋2x)|b|²＋2y(b･c)＋|－xb－yc|²

　 ＝(1＋119/32)R²－(33/8)(7/8)R²＋R²＝(135/64)R²，

　BC²：CA²：AB²＝｛(15/4)R²｝：｛(735/256)R²｝：｛(135/64)R²｝＝64：49：36，BC：CA：AB＝8：7：6，です。

　結局，R＝32･15^-1/4，BC：CA：AB＝8：7：6，になります。


[解答4]

　△OBC，△OCA，△OAB の BC，CA，AB を底辺とする高さを a，b，c とします。

　３個の二等辺三角形を２等分し並べかえると 半径Rの半円内に収まる四角形になります。

　この四角形を分けた面積比は 2a･2R：2b･2c＝2･64：(119＋132－64)＝128：187 、

　aR/(bc)＝128/187 、同様に、bR/(ca)＝34/11 、cR/(ab)＝88/17 になります。

　aR/(bc)：bR/(ca)：cR/(ab)＝128/187：34/11：88/17 だから、

　a²：b²：c²＝64：289：484 、a：b：c＝8：17：22 、

　BC：CA：AB＝64/a：119/b：132/c＝64/8：119/17：132/22＝8：7：6 です。

　次に、a＝8k，b＝17k，c＝22k とおきます。

　aR/(bc)＝128/187 より 8kR/(17k･22k)＝128/187 、R＝32k＝4a 、

　a√(R²－a²)＝64 だから、a²√15＝64 、a＝8/⁴√15 、R＝4a＝32/⁴√15 です。


★ 本問は、[562] https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-1596.html の類題です。

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