浮浪さんの予想
浮浪の館( http://www.geocities.jp/hagure874/ )の管理者の浮浪さんからの提示問です。
△ABCの頂点A,B,C の対辺に対称な点D,E,Fでできる△DEFの面積は
最大で△ABCの何倍?
予想:『直角三角形の場合は3倍になるんですが、他の三角形の場合はどうなるか?
正三角形の場合は4倍ですね。最大で何倍になるか?
どうも「5倍」らしいのだが、証明が・・・』
この問題が解け、浮浪さんからブログに載せる許可を得ましたので、以下に示します。
△ABCにおいて、BC=a, CA=b, AB=c とし、面積をS, 外接円の半径をR, 最大角をAとします。
次に、sin3X=sinX(2cos2X+1) です。
[∵sin3X=sinXcos2X+cosXsin2X=sinX(cos2X+2cos2X)=sinX(cos2X+1+cos2X)=sinX(2cos2X+1)]
また、180゚より大きい角に対しては、三角形の面積を負の数で考えることにします。
左の図のように、A≦120゚ のとき、
△DEF=4S-(1/2)bc・sin3A-(1/2)ca・sin3B-(1/2)ab・sin3C
=4S-(1/2)bc・sinA(2cos2A+1)-(1/2)ca・sinB(2cos2B+1)-(1/2)ab・sinC(2cos2C+1)
=4S-S(2cos2A+1)-S(2cos2B+1)-S(2cos2C+1)
=S(1-2cos2A-2cos2B-2cos2C)
右の図のように、A>120゚ のとき、
∠EAF=3A-360゚ より、sin∠EAF=sin(3A-360゚)=sin3A=sinA(2cos2A+1)。
∠DAF=∠BAC+∠EAC-∠BAD-∠EAF=2A-(90゚-B)-(3A-360゚)=90゚+180゚-A+B=90゚+2B+C,
sin∠DAF=sin(90゚+2B+C)=cos(2B+C)、同様に、sin∠DAE=cos(B+2C)。
また、AD・a=4S 。
[追記 AD=2b・sinC, AD=2c・sinB とすれば少し計算が楽になると uch*n*anさんに指摘頂きました↓]
△DEF=△AEF+△ADF+△ADE=(1/2)bc・sin∠EAF+(1/2)ADb・sin∠DAF+(1/2)ADc・sin∠DAE
=(1/2)bc・sinA(2cos2A+1)+(1/2)AD・2RsinBcos(2B+C)+(1/2)AD・2RsinCcos(B+2C)
=S(2cos2A+1)+(1/2)AD・R{sin(3B+C)-sin(B+C)}+(1/2)AD・R{sin(B+3C)-sin(B+C)}
=S(2cos2A+1)+(1/2)AD・R{sin(3B+C)+sin(B+3C)-2sin(B+C)}
=S(2cos2A+1)+(1/2)AD・R{2sin(2B+2C)cos(B-C)-2sin(B+C)}
=S(2cos2A+1)+(1/2)AD・R{4sin(B+C)cos(B+C)cos(B-C)-2sin(B+C)}
=S(2cos2A+1)+(1/2)AD・2Rsin(B+C){2cos(B+C)cos(B-C)-1}
=S(2cos2A+1)+(1/2)AD・2RsinA(cos2B+cos2C-1)
=S(2cos2A+1)+(1/2)AD・a(cos2B+cos2C-1)
=S(2cos2A+1)+2S(cos2B+cos2C-1)
=S(2cos2A+2cos2B+2cos2C-1)
いずれの場合も、△DEF/△ABC=|1-2cos2A-2cos2B-2cos2C| になります。
ここで、k=1-2cos2A-2cos2B-2cos2C とします。
2A≠0゚,360゚ より、cos2A<1、-2cos2A>-2、
同様に、-2cos2B>-2、-2cos2B>-2 となって、k>-5、
また、A → 180゚ のとき、B → 0゚ , C → 0゚ だから、k → -5 です。
k=1-2cos2A-2(cos2B+cos2C)
=1-2(2cos2A-1)-4cos(B+C)cos(B-C)
=3-4cos2A+4cosAcos(B-C)
=3+cos2(B-C)-{2cosA-cos(B-C)}2
と変形すると、B=C かつ 2cosA=cos(B-C) のとき、すなわち、A=B=C=60゚ のときに、
最大値が 4 になることが分かります。
また、A は最大角だから 180゚>A≧60゚ で、-1<cosA≦1/2、
B=C の場合だけを考えても、k=4-(2cosA-1)2 となって、
kは -5<k≦4 の範囲のすべての値をとります。
よって、-5<1-2cos2A-2cos2B-2cos2C≦4 となります。
[備考]
cos2A+cos2B+cos2C
=2cos2A-1+2cos(B+C)cos(B-C)=-2cosAcos(B+C)-1-2cosAcos(B-C)
=-2cosA{cos(B+C)+cos(B-C)}-1=-2cosA・2cosBcosC-1=-4cosAcosBcosC-1
よって、1-2cos2A-2cos2B-2cos2C=1-2(-4cosAcosBcosC-1)=8cosAcosBcosC+3
と、書き換えられます。
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