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浮浪さんの予想

ヤドカリ

ヤドカリ



浮浪の館( http://www.geocities.jp/hagure874/ )の管理者の浮浪さんからの提示問です。


△ABCの頂点A,B,C の対辺に対称な点D,E,Fでできる△DEFの面積は
最大で△ABCの何倍?


予想:『直角三角形の場合は3倍になるんですが、他の三角形の場合はどうなるか?
     正三角形の場合は4倍ですね。最大で何倍になるか?
     どうも「5倍」らしいのだが、証明が・・・』


この問題が解け、浮浪さんからブログに載せる許可を得ましたので、以下に示します。


△ABCにおいて、BC=a, CA=b, AB=c とし、面積をS, 外接円の半径をR, 最大角をAとします。
次に、sin3X=sinX(2cos2X+1) です。
[∵sin3X=sinXcos2X+cosXsin2X=sinX(cos2X+2cos2X)=sinX(cos2X+1+cos2X)=sinX(2cos2X+1)]
また、180゚より大きい角に対しては、三角形の面積を負の数で考えることにします。

左の図のように、A≦120゚ のとき、
△DEF=4S-(1/2)bc・sin3A-(1/2)ca・sin3B-(1/2)ab・sin3C
 =4S-(1/2)bc・sinA(2cos2A+1)-(1/2)ca・sinB(2cos2B+1)-(1/2)ab・sinC(2cos2C+1)
 =4S-S(2cos2A+1)-S(2cos2B+1)-S(2cos2C+1)
 =S(1-2cos2A-2cos2B-2cos2C)

右の図のように、A>120゚ のとき、
 ∠EAF=3A-360゚ より、sin∠EAF=sin(3A-360゚)=sin3A=sinA(2cos2A+1)。
 ∠DAF=∠BAC+∠EAC-∠BAD-∠EAF=2A-(90゚-B)-(3A-360゚)=90゚+180゚-A+B=90゚+2B+C,
 sin∠DAF=sin(90゚+2B+C)=cos(2B+C)、同様に、sin∠DAE=cos(B+2C)。
 また、AD・a=4S 。
 [追記 AD=2b・sinC, AD=2c・sinB とすれば少し計算が楽になると uch*n*anさんに指摘頂きました↓]
△DEF=△AEF+△ADF+△ADE=(1/2)bc・sin∠EAF+(1/2)ADb・sin∠DAF+(1/2)ADc・sin∠DAE
 =(1/2)bc・sinA(2cos2A+1)+(1/2)AD・2RsinBcos(2B+C)+(1/2)AD・2RsinCcos(B+2C)
 =S(2cos2A+1)+(1/2)AD・R{sin(3B+C)-sin(B+C)}+(1/2)AD・R{sin(B+3C)-sin(B+C)}
 =S(2cos2A+1)+(1/2)AD・R{sin(3B+C)+sin(B+3C)-2sin(B+C)}
 =S(2cos2A+1)+(1/2)AD・R{2sin(2B+2C)cos(B-C)-2sin(B+C)}
 =S(2cos2A+1)+(1/2)AD・R{4sin(B+C)cos(B+C)cos(B-C)-2sin(B+C)}
 =S(2cos2A+1)+(1/2)AD・2Rsin(B+C){2cos(B+C)cos(B-C)-1}
 =S(2cos2A+1)+(1/2)AD・2RsinA(cos2B+cos2C-1)
 =S(2cos2A+1)+(1/2)AD・a(cos2B+cos2C-1)
 =S(2cos2A+1)+2S(cos2B+cos2C-1)
 =S(2cos2A+2cos2B+2cos2C-1)

いずれの場合も、△DEF/△ABC=|1-2cos2A-2cos2B-2cos2C| になります。

ここで、k=1-2cos2A-2cos2B-2cos2C とします。

 2A≠0゚,360゚ より、cos2A<1、-2cos2A>-2、
 同様に、-2cos2B>-2、-2cos2B>-2 となって、k>-5、
 また、A → 180゚ のとき、B → 0゚ , C → 0゚ だから、k → -5 です。

 k=1-2cos2A-2(cos2B+cos2C)
 =1-2(2cos2A-1)-4cos(B+C)cos(B-C)
 =3-4cos2A+4cosAcos(B-C)
 =3+cos2(B-C)-{2cosA-cos(B-C)}2
 と変形すると、B=C かつ 2cosA=cos(B-C) のとき、すなわち、A=B=C=60゚ のときに、
 最大値が 4 になることが分かります。

 また、A は最大角だから 180゚>A≧60゚ で、-1<cosA≦1/2、
 B=C の場合だけを考えても、k=4-(2cosA-1)2 となって、
 kは -5<k≦4 の範囲のすべての値をとります。

よって、-5<1-2cos2A-2cos2B-2cos2C≦4 となります。


[備考]
 cos2A+cos2B+cos2C
 =2cos2A-1+2cos(B+C)cos(B-C)=-2cosAcos(B+C)-1-2cosAcos(B-C)
 =-2cosA{cos(B+C)+cos(B-C)}-1=-2cosA・2cosBcosC-1=-4cosAcosBcosC-1
 よって、1-2cos2A-2cos2B-2cos2C=1-2(-4cosAcosBcosC-1)=8cosAcosBcosC+3
 と、書き換えられます。

.

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Comments 15

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スモークマン  
No title

俄にはついて行けない...^^; やどかりさんのいつもながらの...
華麗な式変形とスピーディーな解答には恐れ入ります♪
いずれにしても快挙ですね☆☆☆!!

ちょっと興味あるのですが...k=0 になるような三角形ってどんなフォルムなんでしょ・・・?

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
k=0 については一般的には求めていないのですが、
例をあげれば、頂角が120゚の二等辺三角形ですね。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
そうなんだ...Orz...
2点が一致するか...3点が直線上になるしかないことはわかるのですが...すぐ思いつけないわたし...^^;
ご面倒でなければ...図でお示しいただければ嬉しいですm(_ _)m~v

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
頂角が120゚の二等辺三角形は正三角形をその中心と頂点を結んでできます。
そのうちの1つに着目して頂点がどこに移動するかお考え下さい。
図をいろいろと描くのはかなりの労力ですのでご勘弁を!

uch*n*an  
No title

この問題,A <= 120°の場合はすぐにできるので同じ式を得ていましたが,
120°< A の場合はややこしそうだったので,後で考えようと思っていました。
実際,面倒そうですね。助かります。後でじっくり読ませてください。
結果は,結構きれいですよね。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
>頂角が120゚の二等辺三角形は正三角形をその中心と頂点を結んでできます。

おおっ...たしかに...1直線になってる♪
Orz~v

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
「120°< A の場合はややこしそうだったので」私も迷ったのですが、
きれいな結果が出て、満足です。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
頂角が120゚の二等辺三角形は、
頂点を対称移動すると30゚の角の頂点が同じ点に移動しますね。

uch*n*an  
No title

私も計算してみたのですが,A の回りの三つの三角形の和と捉えれば,
A <= 120°
△DEF = 1/2 * bc * sin(360 - 3A)
+ 1/2 * b * 2c * sinB * sin(A + 90 - B)
+ 1/2 * c * 2b * sinC * sin(A + 90 - C)
= - 1/2 * bc * sin(3A) + 1/2 * 2bc * sinB * cos(A - B) + 1/2 * 2bc * sinC * cos(A - C)
= ...
= S * (1 - 2 * cos(2A) - 2 * cos(2B) - 2 * cos(2C))

uch*n*an  
No title

120°< A
△DEF = 1/2 * bc * sin(3A - 360)
+ 1/2 * c * 2b * sinC * sin(360 - 2A + 90 - B)
+ 1/2 * b * 2c * sinB * sin(360 - 2A + 90 - C)
= - (- 1/2 * bc * sin(3A) + 1/2 * 2bc * sinB * cos(A - B) + 1/2 * 2bc * sinC * cos(A - C))
= - S * (1 - 2 * cos(2A) - 2 * cos(2B) - 2 * cos(2C))
と,少し計算が楽になるようです。

いっちゃん  
No title

やどかりさん。すごいです。。ポチポチポチッ

桜の花がもう、こんなに咲いてるのですか?
桜前線が気になってきます。笑

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、詳しい説明を有難う御座いました。
面積の求め方については、見方を変えれば工夫の余地があることは分かっていましたが、
美しい結果を得たので、それ以上は考えず、その範囲に興味が写りました。
こうして別の考え方を示して頂くと有難いです。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
この桜は長居公園に咲いていました。冬に咲く品種のようです。

いっちゃん  
No title

冬に咲く花だから「寒さくら」ですね^^
薄桃色の花びらがすごくきれいで冬の青空があったかく
感じます。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、再びコメントを有難う御座います。
近くの公園にはヒカンザクラというのがあったのですが、同じかどうか……?