浮浪さんの予想

浮浪の館( http://www.geocities.jp/hagure874/ )の管理者の浮浪さんからの提示問です。


△ABCの頂点A,B,C の対辺に対称な点D,E,Fでできる△DEFの面積は
最大で△ABCの何倍？

予想：『直角三角形の場合は３倍になるんですが、他の三角形の場合はどうなるか？
　 　 　正三角形の場合は４倍ですね。最大で何倍になるか？
　 　 　どうも「５倍」らしいのだが、証明が・・・』

この問題が解け、浮浪さんからブログに載せる許可を得ましたので、以下に示します。


△ABCにおいて、BC＝a, CA＝b, AB＝c とし、面積をS, 外接円の半径をR, 最大角をAとします。
次に、sin3X＝sinX(2cos2X＋1) です。
[∵sin3X＝sinXcos2X＋cosXsin2X＝sinX(cos2X＋2cos²X)＝sinX(cos2X＋1＋cos2X)＝sinX(2cos2X＋1)]
また、180ﾟより大きい角に対しては、三角形の面積を負の数で考えることにします。

左の図のように、A≦120ﾟ のとき、
△DEF＝4S－(1/2)bc･sin3A－(1/2)ca･sin3B－(1/2)ab･sin3C
　＝4S－(1/2)bc･sinA(2cos2A＋1)－(1/2)ca･sinB(2cos2B＋1)－(1/2)ab･sinC(2cos2C＋1)
　＝4S－S(2cos2A＋1)－S(2cos2B＋1)－S(2cos2C＋1)
　＝S(1－2cos2A－2cos2B－2cos2C)

右の図のように、A＞120ﾟ のとき、
　∠EAF＝3A－360ﾟ より、sin∠EAF＝sin(3A－360ﾟ)＝sin3A＝sinA(2cos2A＋1)。
　∠DAF＝∠BAC＋∠EAC－∠BAD－∠EAF＝2A－(90ﾟ－B)－(3A－360ﾟ)＝90ﾟ＋180ﾟ－A＋B＝90ﾟ＋2B＋C,
　sin∠DAF＝sin(90ﾟ＋2B＋C)＝cos(2B＋C)、同様に、sin∠DAE＝cos(B＋2C)。
　また、AD･a＝4S 。
　[追記 AD＝2b･sinC, AD＝2c･sinB とすれば少し計算が楽になると uch*n*anさんに指摘頂きました↓]
△DEF＝△AEF＋△ADF＋△ADE＝(1/2)bc･sin∠EAF＋(1/2)ADb･sin∠DAF＋(1/2)ADc･sin∠DAE
　＝(1/2)bc･sinA(2cos2A＋1)＋(1/2)AD･2RsinBcos(2B＋C)＋(1/2)AD･2RsinCcos(B＋2C)
　＝S(2cos2A＋1)＋(1/2)AD･R{sin(3B＋C)－sin(B＋C)}＋(1/2)AD･R{sin(B＋3C)－sin(B＋C)}
　＝S(2cos2A＋1)＋(1/2)AD･R{sin(3B＋C)＋sin(B＋3C)－2sin(B＋C)}
　＝S(2cos2A＋1)＋(1/2)AD･R{2sin(2B＋2C)cos(B－C)－2sin(B＋C)}
　＝S(2cos2A＋1)＋(1/2)AD･R{4sin(B＋C)cos(B＋C)cos(B－C)－2sin(B＋C)}
　＝S(2cos2A＋1)＋(1/2)AD･2Rsin(B＋C){2cos(B＋C)cos(B－C)－1}
　＝S(2cos2A＋1)＋(1/2)AD･2RsinA(cos2B＋cos2C－1)
　＝S(2cos2A＋1)＋(1/2)AD･a(cos2B＋cos2C－1)
　＝S(2cos2A＋1)＋2S(cos2B＋cos2C－1)
　＝S(2cos2A＋2cos2B＋2cos2C－1)

いずれの場合も、△DEF/△ABC＝|1－2cos2A－2cos2B－2cos2C|　になります。

ここで、k＝1－2cos2A－2cos2B－2cos2C とします。

　2A≠0ﾟ,360ﾟ より、cos2A＜1、－2cos2A＞－2、
　同様に、－2cos2B＞－2、－2cos2B＞－2 となって、k＞－5、
　また、A → 180ﾟ のとき、B → 0ﾟ , C → 0ﾟ だから、k → －5 です。

　k＝1－2cos2A－2(cos2B＋cos2C)
　＝1－2(2cos²A－1)－4cos(B＋C)cos(B－C)
　＝3－4cos²A＋4cosAcos(B－C)
　＝3＋cos²(B－C)－{2cosA－cos(B－C)}²
　と変形すると、B＝C かつ 2cosA＝cos(B－C) のとき、すなわち、A＝B＝C＝60ﾟ のときに、
　最大値が 4 になることが分かります。

　また、A は最大角だから 180ﾟ＞A≧60ﾟ で、－1＜cosA≦1/2、
　B＝C の場合だけを考えても、k＝4－(2cosA－1)² となって、
　ｋは －5＜k≦4 の範囲のすべての値をとります。

よって、－5＜1－2cos2A－2cos2B－2cos2C≦4　となります。


[備考]
　cos2A＋cos2B＋cos2C
　＝2cos²A－1＋2cos(B＋C)cos(B－C)＝－2cosAcos(B＋C)－1－2cosAcos(B－C)
　＝－2cosA{cos(B＋C)＋cos(B－C)}－1＝－2cosA･2cosBcosC－1＝－4cosAcosBcosC－1
　よって、1－2cos2A－2cos2B－2cos2C＝1－2(－4cosAcosBcosC－1)＝8cosAcosBcosC＋3
　と、書き換えられます。

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