FC2ブログ

Welcome to my blog

[答877] 互いに素な2数

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答877] 互いに素な2数


 162000000 の正の約数 280 個のうち、互いに素な異なる2数の選び方は何通り?


[解答1]

 162000000=27・34・56 だから、

 互いに素な数の組み合わせは、まず、1 と 1以外の数の 279 通り、

 a,b,c を a≦7,b≦4,c≦6 を満たす自然数として、

 2a と 3b の 7・4=28 通り、2a と 5c の 7・6=42 通り、3b と 5c の 4・6=24 通り、

 2a と 3b・5c ,3b と 2a・5c ,5c と 2a・3b

 いずれも、7・4・6=168 通り ですので、

 279+28+42+24+3・168=877 通りです。


[解答2]

 一般化して、N の正の約数のうち、互いに素な異なる2数の選び方の総数を求めます。

 p,q が 互いに素な N の約数で p<q のとき、

  d=Np/q とすれば、p/q<1 なので d<N 、N/q は自然数なので d も自然数、

  N2/d=N2/(Np/q)=(N/p)q は自然数だから d は N2 の約数です。

 逆に、d が N2 の約数で d<N のとき、

  d/N=p/q (p/q は既約分数) とすれば、p,q は 互いに素、p<q 、q は N の約数、

  N2/d は自然数で (N2/d)/N=N/d=q/p だから p は N の約数です。

 よって、N の互いに素な約数の組(p,q) (p<q) と N2 の N より小さい約数 d が

 1対1に対応し、その総数は ((N2の約数の個数)-1)/2 です。

 本問では、N=162000000=27・34・56

 N2=214・38・512 だから、(15・9・13-1)/2=877 通りです。

.

スポンサーサイト



Comments 17

There are no comments yet.
さっちゃんこ  
No title

おはようございます
ブルーのムスカリから比べると比較的少ない白のムスカリ
真っ白で素敵ですね
ナイス☆彡

ひとりしずか  
No title

濃い青しか見たことなかったような~
青も濃い色から薄い色まで、他に白、ピンクもあるんですね~
かわいらしい!

樹☆  
No title

わぁ~白いムスカリです。
小さなお花の中を覗いてみたいです。

アキチャン  
No title

この色のは初めてみます(o^-^o)
きれいですね♪

uch*n*an  
No title

なるほど。実は[解答2]の結果に気付いていて証明を試みたのですが,
素因数分解した式を複雑に組み合わせるという変な方向に行ってしまって失敗しました。
もっと単純に考えるべきでしたね。
実際の解法は三つでしたが,いずれも[解答1]のように素因数分解した式を基にして
重複しないように数える方法でした。

ニリンソウ  
No title

白もあったんですね~
まだ観ずですよ。

ナイス

たけちゃん  
No title

[解答2]はなるほどと思いました.
考えてみると,私の解法(後述)と等価ですが,
N^2の素因数の話に置き換えてしまったところが秀逸です.

私は次のように解きました.
問題文の「互いに素な異なる2数の選び方」のかわりに
「互いに素な2数A,Bの定め方」に変えた問題について,
A,Bは(2^7)*(3^4)*(5^6)の約数で,互いに素だから,
素因数2は,「Aにだけ○個」「Bにだけ○個」「どちらにも含めない」
(ただし,○は,1~7のいずれか)
の15通りの配置の仕方が可能.
同様に,素因数3は9通り,素因数5は13通りの配置が可能である.
よって,変えた問題については,結論は,15*9*13.
このうち,どの素因数も「どちらにも含めない」とした1通りはA=B(=1)となり,
本問では不適.
それ以外については,本問に適する分け方となるが,
A,Bを入れ替えたものは同一視すべきなので,本問の結論は,
(15*9*13-1)/2=877(通り).

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
[解答2]は…流れの意味はわかるも…どこからそんな " d " が舞い降りてくるのか?...わからず ^^;;
たけちゃんさんの解法は了解できましたですが…[解法1]のようにしか思いつけなかったわたしです...いずれにせよ...発想の転換が必要なのねぇ…☆…Orz~

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
写真では分かりにくいのですが、薄い水色のムスカリです。
これも比較的少ないと思います。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ムスカリの可愛い姿でいろんな色があると楽しそうです。
どうしてもムスカリというと濃い青を連想してしまいます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
分かりにくいですが、薄い水色のムスカリでした。
白いムスカリは明日にでもアップしますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この色のムスカリは珍しいですよね。
赤や黄色はないとは思いますが、あれば楽しそうです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントをありがとうございます。
[解答2]に気づいての出題です。
場合分けで重複に気を付けるだけでは面白くないですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
ニリンソウさんのブログでも私の見たことのない花をよく見ます。
かなわないことですが、1年ずついろんな地方で住みたいです。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントをありがとうございます。
> 素因数2は,「Aにだけ○個」「Bにだけ○個」「どちらにも含めない」
> (ただし,○は,1~7のいずれか)
について、「Aにだけ」の場合は -○,「どちらにも含めない」の場合は 0
とすれば、-7~7 に数が考えられ、7 を加えると 0~14 で、N^2 の約数 d に対応します。
d/N は 0~14 を -7~7 に戻す発想で、解答を作りました。
貴殿と同じ発想で等価ですが、更なる工夫を加えて[解答2]が得られました。
時間制限のない出題者だからできることですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
" d " が舞い降りてくるのは、たけちゃんさんへのリコメの通りです。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントをありがとうございます。
たけちゃんさんのリコメのように書きましたが、
スモークマンさんをはじめ、みなさんへの説明の心算で書きました。
コメントを書く理由も、同じような発想だったのですね。