[答878] 内接円と辺の分割
[答878] 内接円と辺の分割
BC=46,CA=23,AB=37 である △ABCの内接円と辺BCとの接点をDとし、直径をDPとします。
APの延長と BCの交点をQ とするとき、BQ:QD:DC=?
[解答1]
△ABCの内心を I とすれば、△IBC:△ICA:△IAB=BC:CA:AB=46:23:37 だから、
PQ:AQ=△PBC:△ABC=2△IBC:(△IBC+△ICA+△IAB)=2・46:(46+23+37)=46:53 です。
また、2CD=CB+CA-AB=46+23-37=32 だから CD=16 です。
次に、AからBCにおろした垂線の足をHとすれば、
三平方の定理により、AH2=AB2-BH2=AC2-CH2 、
BH=BC-CH=46-CH だから、372-(46-CH)2=232-CH2 、
1369-2116+92CH-CH2=529-CH2 、CH=319/23 です。
DH=CD-CH=16-319/23=49/23 、
PQ:AQ=DQ:HQ=QD:(QD+DH)=QD:(QD+49/23) 、QD:(QD+49/23)=46:53 、
53QD=46(QD+49/23) 、7QD=98 、QD=14 、BQ=BC-QD-DC=46-14-16=16 、
よって、BQ:QD:DC=16:14:16=8:7:8 です。
[解答2]
内接円と辺CA,辺ABとの接点をそれぞれ E,F とし、
∠A 内の傍接円と辺ABの延長,辺ACの延長との接点をそれぞれ K,L とします。
Aをの中心として P が Q に重なるように拡大すれば、内接円は傍接円に重なります。
よって、Qは傍接円と辺BCとの接点になります。
CD=BC-BD=BC-BF=BC-(AB-AF)=BC-AB+AE=BC-AB+(AC-CE)=BC+CA-AB-CD 、
BQ=BK=AK-AB=AL-AB=AC+CL-AB=AC+CQ-AB=AC+(BC-BQ)-AB
=BC+CA-AB-BQ 、
よって、2CD=2BQ=BC+CA-AB 、CD=BQ=(BC+CA-AB)/2=16 、
QD=BC-(BQ+DC)=BC-(BC+CA-AB)=AB-CA=14 、
BQ:QD:DC=16:14:16=8:7:8 です。
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