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[答878] 内接円と辺の分割

ヤドカリ

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[答878] 内接円と辺の分割


 BC=46,CA=23,AB=37 である △ABCの内接円と辺BCとの接点をDとし、直径をDPとします。

 APの延長と BCの交点をQ とするとき、BQ:QD:DC=?


[解答1]

 △ABCの内心を I とすれば、△IBC:△ICA:△IAB=BC:CA:AB=46:23:37 だから、

 PQ:AQ=△PBC:△ABC=2△IBC:(△IBC+△ICA+△IAB)=2・46:(46+23+37)=46:53 です。

 また、2CD=CB+CA-AB=46+23-37=32 だから CD=16 です。

 次に、AからBCにおろした垂線の足をHとすれば、

 三平方の定理により、AH2=AB2-BH2=AC2-CH2

 BH=BC-CH=46-CH だから、372-(46-CH)2=232-CH2

 1369-2116+92CH-CH2=529-CH2 、CH=319/23 です。

 DH=CD-CH=16-319/23=49/23 、

 PQ:AQ=DQ:HQ=QD:(QD+DH)=QD:(QD+49/23) 、QD:(QD+49/23)=46:53 、

 53QD=46(QD+49/23) 、7QD=98 、QD=14 、BQ=BC-QD-DC=46-14-16=16 、

 よって、BQ:QD:DC=16:14:16=8:7:8 です。


[解答2]

 内接円と辺CA,辺ABとの接点をそれぞれ E,F とし、

 ∠A 内の傍接円と辺ABの延長,辺ACの延長との接点をそれぞれ K,L とします。

 Aをの中心として P が Q に重なるように拡大すれば、内接円は傍接円に重なります。

 よって、Qは傍接円と辺BCとの接点になります。

 CD=BC-BD=BC-BF=BC-(AB-AF)=BC-AB+AE=BC-AB+(AC-CE)=BC+CA-AB-CD 、

 BQ=BK=AK-AB=AL-AB=AC+CL-AB=AC+CQ-AB=AC+(BC-BQ)-AB

  =BC+CA-AB-BQ 、

 よって、2CD=2BQ=BC+CA-AB 、CD=BQ=(BC+CA-AB)/2=16 、

 QD=BC-(BQ+DC)=BC-(BC+CA-AB)=AB-CA=14 、

 BQ:QD:DC=16:14:16=8:7:8 です。

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Comments 12

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます
水芭蕉ですネ
実物を見たことが一度も無く憧れの花です
真っ白の仏炎苞が花かと思っていたらカラーと同じく小さな黄緑の部分が花なんですね
こんなアップで見るのも初めてで嬉しいです
ナイス☆彡

ひとりしずか  
No title

水芭蕉地元に群生地あるのですが、なかなか行けないでいます。
自生のを観たいと思っているのですが・・・

樹☆  
No title

おはようございます
水芭蕉見ると自然に口ずさむ歌がありますね。
水芭蕉の花が咲いてる♫
歳を重ねても・・そらででてきます。

uch*n*an  
No title

私は[解答1]でしたが,何か面白くないなと思っていました。[解答2]は面白いです。
ただ,言われれば,なるほど,ですが,気付けそうで気付けないなぁ。

ニリンソウ  
No title

水芭蕉見れたのですね。
里では春に高原では初夏に
所変えればまだ見れる花です。

ナイス

スモークマン  
No title

ぎりぎりグーテンターク ^^
[解答2]...傍接円は内接円の拡大版になるんですねぇ☆
so…
BD-DC=QD・・・BD-QD=BQ=DC とわかれば…
あとは、算数で一気呵成に収束しますのね!!
わたしゃ...まことにいい加減なことで…BQ=DCと考えてしまいまして…
^^;;~Orz~

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
当方でも花の文化園以外で水芭蕉を見る機会はありません。
私にとっても憧れの花です。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
流石に北国、地元に群生地があるなんて素敵です。
自生の水芭蕉を見たいです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
♪遥かな尾瀬 遠い空 ですね。
このような風景が目に浮かぶ歌は頭に残ります。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントをありがとうございます。
直円錐を斜めに切って楕円ができますが、
それを真横から見たら、楕円の長軸が 線分BCで、焦点が D,Qです。
その発想での解き方が[解答2]で、たけちゃんさんに見抜かれました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
里でも高原でも見られるのがいいですね。
残念ながら私は自生している水芭蕉を見たことがありません。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
貴殿の直観が正しかったのですが、裏付けが不十分でした。
内接円と傍接円の中心は角の二等分線上に並びますね。