[答878] 内接円と辺の分割

[答878] 内接円と辺の分割


　BC＝46，CA＝23，AB＝37 である △ABCの内接円と辺BCとの接点をDとし、直径をDPとします。

　APの延長と BCの交点をQ とするとき、BQ：QD：DC＝？


[解答1]

　△ABCの内心を Ｉ とすれば、△ＩBC：△ＩCA：△ＩAB＝BC：CA：AB＝46：23：37 だから、

　PQ：AQ＝△PBC：△ABC＝2△ＩBC：(△ＩBC＋△ＩCA＋△ＩAB)＝2･46：(46＋23＋37)＝46：53 です。

　また、2CD＝CB＋CA－AB＝46＋23－37＝32 だから CD＝16 です。

　次に、AからBCにおろした垂線の足をHとすれば、

　三平方の定理により、AH²＝AB²－BH²＝AC²－CH² 、

　BH＝BC－CH＝46－CH だから、37²－(46－CH)²＝23²－CH² 、

　1369－2116＋92CH－CH²＝529－CH² 、CH＝319/23 です。

　DH＝CD－CH＝16－319/23＝49/23 、

　PQ：AQ＝DQ：HQ＝QD：(QD＋DH)＝QD：(QD＋49/23) 、QD：(QD＋49/23)＝46：53 、

　53QD＝46(QD＋49/23) 、7QD＝98 、QD＝14 、BQ＝BC－QD－DC＝46－14－16＝16 、

　よって、BQ：QD：DC＝16：14：16＝8：7：8 です。


[解答2]

　内接円と辺CA，辺ABとの接点をそれぞれ E，F とし、

　∠A 内の傍接円と辺ABの延長，辺ACの延長との接点をそれぞれ K，L とします。

　Aをの中心として P が Q に重なるように拡大すれば、内接円は傍接円に重なります。

　よって、Qは傍接円と辺BCとの接点になります。

　CD＝BC－BD＝BC－BF＝BC－(AB－AF)＝BC－AB＋AE＝BC－AB＋(AC－CE)＝BC＋CA－AB－CD 、

　BQ＝BK＝AK－AB＝AL－AB＝AC＋CL－AB＝AC＋CQ－AB＝AC＋(BC－BQ)－AB

　 ＝BC＋CA－AB－BQ 、

　よって、2CD＝2BQ＝BC＋CA－AB 、CD＝BQ＝(BC＋CA－AB)/2＝16 、

　QD＝BC－(BQ＋DC)＝BC－(BC＋CA－AB)＝AB－CA＝14 、

　BQ：QD：DC＝16：14：16＝8：7：8 です。

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