[答880] 長方形と正三角形

[答880] 長方形と正三角形


　長方形ABCDの 辺CD上に点P，辺DA上に点Q があって、

　△BPQは正三角形，△ABQ＝187，△BCP＝693 であるとき、△DQP，△BPQ の面積は？


[解答1]

　p＞0，q＞0 として、座標平面上で、B(0，0)，C(2p，0)，P(2p，2q) とすれば、

　(p，q)＋(√3)(－q，p)＝(p－(√3)q，q＋(√3)p) より Q(p－(√3)q，q＋(√3)p)，A(0，q＋(√3)p) 、

　D(2p，q＋(√3)p) になります。

　△ABQ＝｛p－(√3)q｝｛q＋(√3)p｝/2＝(√3)(p²－q²)/2－pq 、

　△BCP＝(2p)(2q)/2＝2pq 、

　△DQP＝｛p＋(√3)q｝｛－q＋(√3)p｝/2＝(√3)(p²－q²)/2＋pq だから、

　△DQP＝△ABQ＋△BCP＝187＋693＝880 になります。

　また、(√3)(p²－q²)/2－pq＝187 ，2pq＝693 だから、

　pq＝693/2 ，p²－q²＝1067/√3 になり、

　(p²＋q²)²＝(p²－q²)²＋(2pq)²＝1067²/3＋693²

　 ＝(11²/3)(97²＋3･63²)＝(11²/3)･146²＝1606²/3 、

　p²＋q²＝1606/√3 になって、

　△BPQ＝(√3)BP²/4＝(√3)(p²＋q²)＝1606 です。


[解答2]

　∠EBC＝30ﾟ になるように CD上に点Eをとり、PからBEおろした垂線の足をF、

　EC＝a，EP＝2b とすれば、△ABQ≡△FBP だから、

　BE＝2a，BC＝a√3，PC＝a－2b，EF＝b，AQ＝EP＝b√3，AB＝FB＝2a－b です。

　2△ABQ＝(2a－b)b√3＝(2ab－b²)√3 ，2△BCP＝(a－2b)a√3＝(a²－2ab)√3 で、

　2△DQP＝DP･DQ＝｛(2a－b)－(a－2b)｝(a√3－b√3)＝(a＋b)(a－b)√3＝2△ABQ＋2△BCP だから、

　△DQP＝△ABQ＋△BCP になります。

　△BPQ＝AB･BC－(△DQP＋△ABQ＋△BCP)＝AB･BC－2△DQP＝(2a－b)a√3－(a＋b)(a－b)√3

　 ＝(a²－ab＋b²)√3 、

　△BPQ²＝3(a⁴－2a³b＋3a²b²－2ab³＋b⁴) ，

　4△ABQ²＝3(4a²－4ab＋b²)b² ，4△BCP²＝3a²(a²－4ab＋4b²) ，

　4△ABQ△BCP＝3ab(2a²－5ab＋2b²) だから、

　△BPQ²＝4△ABQ²＋4△ABQ△BCP＋4△BCP²＝4(△ABQ＋△BCP)²－4△ABQ△BCP

　 ＝4△DQP²－4△ABQ△BCP 、

　△BPQ＝2√(△DQP²－△ABQ△BCP) です。

　本問では、△ABQ＝187，△BCP＝693 だから、△DQP＝△ABQ＋△BCP＝187＋693＝880 、

　△BPQ＝2√(△DQP²－△ABQ△BCP)＝2√(880²－187･693)＝22√(80²－17･63)＝22･73＝1606 です。

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