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[答880] 長方形と正三角形

ヤドカリ

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[答880] 長方形と正三角形


 長方形ABCDの 辺CD上に点P,辺DA上に点Q があって、

 △BPQは正三角形,△ABQ=187,△BCP=693 であるとき、△DQP,△BPQ の面積は?


[解答1]

 p>0,q>0 として、座標平面上で、B(0,0),C(2p,0),P(2p,2q) とすれば、

 (p,q)+(√3)(-q,p)=(p-(√3)q,q+(√3)p) より Q(p-(√3)q,q+(√3)p),A(0,q+(√3)p) 、

 D(2p,q+(√3)p) になります。

 △ABQ={p-(√3)q}{q+(√3)p}/2=(√3)(p2-q2)/2-pq 、

 △BCP=(2p)(2q)/2=2pq 、

 △DQP={p+(√3)q}{-q+(√3)p}/2=(√3)(p2-q2)/2+pq だから、

 △DQP=△ABQ+△BCP=187+693=880 になります。

 また、(√3)(p2-q2)/2-pq=187 ,2pq=693 だから、

 pq=693/2 ,p2-q2=1067/√3 になり、

 (p2+q2)2=(p2-q2)2+(2pq)2=10672/3+6932

  =(112/3)(972+3・632)=(112/3)・1462=16062/3 、

 p2+q2=1606/√3 になって、

 △BPQ=(√3)BP2/4=(√3)(p2+q2)=1606 です。


[解答2]

 ∠EBC=30゚ になるように CD上に点Eをとり、PからBEおろした垂線の足をF、

 EC=a,EP=2b とすれば、△ABQ≡△FBP だから、

 BE=2a,BC=a√3,PC=a-2b,EF=b,AQ=EP=b√3,AB=FB=2a-b です。

 2△ABQ=(2a-b)b√3=(2ab-b2)√3 ,2△BCP=(a-2b)a√3=(a2-2ab)√3 で、

 2△DQP=DP・DQ={(2a-b)-(a-2b)}(a√3-b√3)=(a+b)(a-b)√3=2△ABQ+2△BCP だから、

 △DQP=△ABQ+△BCP になります。

 △BPQ=AB・BC-(△DQP+△ABQ+△BCP)=AB・BC-2△DQP=(2a-b)a√3-(a+b)(a-b)√3

  =(a2-ab+b2)√3 、

 △BPQ2=3(a4-2a3b+3a2b2-2ab3+b4) ,

 4△ABQ2=3(4a2-4ab+b2)b2 ,4△BCP2=3a2(a2-4ab+4b2) ,

 4△ABQ△BCP=3ab(2a2-5ab+2b2) だから、

 △BPQ2=4△ABQ2+4△ABQ△BCP+4△BCP2=4(△ABQ+△BCP)2-4△ABQ△BCP

  =4△DQP2-4△ABQ△BCP 、

 △BPQ=2√(△DQP2-△ABQ△BCP) です。

 本問では、△ABQ=187,△BCP=693 だから、△DQP=△ABQ+△BCP=187+693=880 、

 △BPQ=2√(△DQP2-△ABQ△BCP)=2√(8802-187・693)=22√(802-17・63)=22・73=1606 です。

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Comments 8

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ひとりしずか  
No title

ライラックでしょうか~

運よく5つに割れている花を見つけたときには、
黙って飲み込むと、愛する人が
永遠に離れていかないといわれているそうですよ

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、ライラックです。
今度は5枚の花弁のを捜すことにします。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
上手く座標の点を取れば…[解答1]のように、p,qを求めなくても奇麗に出せるんですねぇ☆
BPの中点から、直交する(-q,p)の√3倍のところが点Qなんだ!!
複素数を出さなくても求められること了解 ^^v
[解答2]はトレースできてませんけど…^^;
>△ABQ≡△EBP
は…
△ABQ≡△FBP
ですかね?…Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
正三角形は複素平面で扱うのが常道ですが、
この問題はそこまでしなくても求まりますね。
タイプミスは仰る通りです。早速訂正しました。

ニリンソウ  
No title

こんばんは~
この方もいろんな色のライラックを見かけます。
大きくして見たらこんな花の集まりでしたね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
ライラックの花の集まりもいいですね。
これも私の好きな花の1つです。

樹☆  
No title

この花の色が日本名に近いような気がします。
昔・・NHKドラマでライラックの香りでタイムスリップするのが
ありませんでした?
ラベンダーだったのかな。記憶力落ちてます><

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ライラックもラベンダーも「ラ」で始まる紫の花だから、
遠い記憶は曖昧かも知れませんね。
どちらにしてもいい花だと思います。