[答880] 長方形と正三角形
[答880] 長方形と正三角形
長方形ABCDの 辺CD上に点P,辺DA上に点Q があって、
△BPQは正三角形,△ABQ=187,△BCP=693 であるとき、△DQP,△BPQ の面積は?
[解答1]
p>0,q>0 として、座標平面上で、B(0,0),C(2p,0),P(2p,2q) とすれば、
(p,q)+(√3)(-q,p)=(p-(√3)q,q+(√3)p) より Q(p-(√3)q,q+(√3)p),A(0,q+(√3)p) 、
D(2p,q+(√3)p) になります。
△ABQ={p-(√3)q}{q+(√3)p}/2=(√3)(p2-q2)/2-pq 、
△BCP=(2p)(2q)/2=2pq 、
△DQP={p+(√3)q}{-q+(√3)p}/2=(√3)(p2-q2)/2+pq だから、
△DQP=△ABQ+△BCP=187+693=880 になります。
また、(√3)(p2-q2)/2-pq=187 ,2pq=693 だから、
pq=693/2 ,p2-q2=1067/√3 になり、
(p2+q2)2=(p2-q2)2+(2pq)2=10672/3+6932
=(112/3)(972+3・632)=(112/3)・1462=16062/3 、
p2+q2=1606/√3 になって、
△BPQ=(√3)BP2/4=(√3)(p2+q2)=1606 です。
[解答2]
∠EBC=30゚ になるように CD上に点Eをとり、PからBEおろした垂線の足をF、
EC=a,EP=2b とすれば、△ABQ≡△FBP だから、
BE=2a,BC=a√3,PC=a-2b,EF=b,AQ=EP=b√3,AB=FB=2a-b です。
2△ABQ=(2a-b)b√3=(2ab-b2)√3 ,2△BCP=(a-2b)a√3=(a2-2ab)√3 で、
2△DQP=DP・DQ={(2a-b)-(a-2b)}(a√3-b√3)=(a+b)(a-b)√3=2△ABQ+2△BCP だから、
△DQP=△ABQ+△BCP になります。
△BPQ=AB・BC-(△DQP+△ABQ+△BCP)=AB・BC-2△DQP=(2a-b)a√3-(a+b)(a-b)√3
=(a2-ab+b2)√3 、
△BPQ2=3(a4-2a3b+3a2b2-2ab3+b4) ,
4△ABQ2=3(4a2-4ab+b2)b2 ,4△BCP2=3a2(a2-4ab+4b2) ,
4△ABQ△BCP=3ab(2a2-5ab+2b2) だから、
△BPQ2=4△ABQ2+4△ABQ△BCP+4△BCP2=4(△ABQ+△BCP)2-4△ABQ△BCP
=4△DQP2-4△ABQ△BCP 、
△BPQ=2√(△DQP2-△ABQ△BCP) です。
本問では、△ABQ=187,△BCP=693 だから、△DQP=△ABQ+△BCP=187+693=880 、
△BPQ=2√(△DQP2-△ABQ△BCP)=2√(8802-187・693)=22√(802-17・63)=22・73=1606 です。
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