[答881] 循環節ｎ桁の有理数

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[答881] 循環節ｎ桁の有理数


　0＜Q＜8/9 を満たす有理数 Q は小数に直すと循環節がｎ桁の純循環小数になり、1/9 を加えると、

　循環節の末尾が先頭に移動した(循環節の上(n－1)桁と下１桁が入れ替わった)循環小数になります。

　このような条件を満たす Q のうち 最小のものと そのときの循環節の長さ n は？

　また、条件を満たす Q のうち 最大のものと そのときの循環節の長さ n は？


[解答1]

　簡単のために 10ⁿ－1＝N とすれば 10^n-1＝N/10＋1/10 です。

　Qの循環節の上(n－1)桁を a，下１桁を b とすれば、Q＝(10a＋b)/N です。

　(10a＋b)/N＋1/9＝(10^n-1b＋a)/N＝｛(N/10＋1/10)b＋a｝/N＝b/10＋(b/10＋a)/N 、

　(9a＋9b/10)/N＝b/10－1/9 、10/9 をかけて (10a＋b)/N＝b/9－10/81 、

　Q＝(9b－10)/81 (b＝2，3，4，5，6，7，8，9) 、

　b＝2 のとき Q＝8/81 、循環節は 098765432 の 9桁で、これが最小、

　b＝9 のとき Q＝71/81 、循環節は 876543209 の 9桁で、これが最大です。


[解答2]

　Q の 循環節の末尾数字を b とします。

　Q＋1/9 は Q の 「0．」と小数第１位の間に b が挟まるだけなので、Q＋1/9 を 10倍すれば、

　10(Q＋1/9)＝b＋Q となり、9Q＝b－10/9 、Q＝(9b－10)/81 (b＝2，3，4，5，6，7，8，9) 、

　b＝2 のとき Q＝8/81 、循環節は 098765432 の 9桁で、これが最小、

　b＝9 のとき Q＝71/81 、循環節は 876543209 の 9桁で、これが最大です。


[参考1]

　題意に合う数は以下のようになります。循環節にアンダーラインを付けています。

　 8/81＝0．098765432098765432…… ， 8/81＋1/9＝17/81＝0．209876543209876543……

　17/81＝0．209876543209876543…… ，17/81＋1/9＝26/81＝0．320987654320987654……

　26/81＝0．320987654320987654…… ，26/81＋1/9＝35/81＝0．432098765432098765……

　35/81＝0．432098765432098765…… ，35/81＋1/9＝44/81＝0．543209876543209876……

　44/81＝0．543209876543209876…… ，44/81＋1/9＝53/81＝0．654320987654320987……

　53/81＝0．654320987654320987…… ，53/81＋1/9＝62/81＝0．765432098765432098……

　62/81＝0．765432098765432098…… ，62/81＋1/9＝71/81＝0．876543209876543209……

　71/81＝0．876543209876543209…… ，71/81＋1/9＝80/81＝0．987654320987654320……


[参考2]

　Q＝(9b－10)/81 (b＝2，3，4，5，6，7，8，9) は何れも既約分数で、

　分母の 81 は 999999999 の約数で 999 や 9 の約数ではありませんので、循環節は９桁です。


[参考3]

　答の 8/81，71/81 と 1/9 が純循環小数であることに留意しておく必要があります。

　もし、問題の 1/9 が 1/8 であれば、Q＝(4b－5)/36 (b＝2，3，4，5，6，7，8，9) になり、

　b＝2 のとき Q＝1/12＝0．08333…… 、Q＋1/8＝0．208333…… ですが、

　0．08333…… には 2 が含まれないので適しません。

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