[答881] 循環節n桁の有理数
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[答881] 循環節n桁の有理数
0<Q<8/9 を満たす有理数 Q は小数に直すと循環節がn桁の純循環小数になり、1/9 を加えると、
循環節の末尾が先頭に移動した(循環節の上(n-1)桁と下1桁が入れ替わった)循環小数になります。
このような条件を満たす Q のうち 最小のものと そのときの循環節の長さ n は?
また、条件を満たす Q のうち 最大のものと そのときの循環節の長さ n は?
[解答1]
簡単のために 10n-1=N とすれば 10n-1=N/10+1/10 です。
Qの循環節の上(n-1)桁を a,下1桁を b とすれば、Q=(10a+b)/N です。
(10a+b)/N+1/9=(10n-1b+a)/N={(N/10+1/10)b+a}/N=b/10+(b/10+a)/N 、
(9a+9b/10)/N=b/10-1/9 、10/9 をかけて (10a+b)/N=b/9-10/81 、
Q=(9b-10)/81 (b=2,3,4,5,6,7,8,9) 、
b=2 のとき Q=8/81 、循環節は 098765432 の 9桁で、これが最小、
b=9 のとき Q=71/81 、循環節は 876543209 の 9桁で、これが最大です。
[解答2]
Q の 循環節の末尾数字を b とします。
Q+1/9 は Q の 「0.」と小数第1位の間に b が挟まるだけなので、Q+1/9 を 10倍すれば、
10(Q+1/9)=b+Q となり、9Q=b-10/9 、Q=(9b-10)/81 (b=2,3,4,5,6,7,8,9) 、
b=2 のとき Q=8/81 、循環節は 098765432 の 9桁で、これが最小、
b=9 のとき Q=71/81 、循環節は 876543209 の 9桁で、これが最大です。
[参考1]
題意に合う数は以下のようになります。循環節にアンダーラインを付けています。
8/81=0.098765432098765432…… , 8/81+1/9=17/81=0.209876543209876543……
17/81=0.209876543209876543…… ,17/81+1/9=26/81=0.320987654320987654……
26/81=0.320987654320987654…… ,26/81+1/9=35/81=0.432098765432098765……
35/81=0.432098765432098765…… ,35/81+1/9=44/81=0.543209876543209876……
44/81=0.543209876543209876…… ,44/81+1/9=53/81=0.654320987654320987……
53/81=0.654320987654320987…… ,53/81+1/9=62/81=0.765432098765432098……
62/81=0.765432098765432098…… ,62/81+1/9=71/81=0.876543209876543209……
71/81=0.876543209876543209…… ,71/81+1/9=80/81=0.987654320987654320……
[参考2]
Q=(9b-10)/81 (b=2,3,4,5,6,7,8,9) は何れも既約分数で、
分母の 81 は 999999999 の約数で 999 や 9 の約数ではありませんので、循環節は9桁です。
[参考3]
答の 8/81,71/81 と 1/9 が純循環小数であることに留意しておく必要があります。
もし、問題の 1/9 が 1/8 であれば、Q=(4b-5)/36 (b=2,3,4,5,6,7,8,9) になり、
b=2 のとき Q=1/12=0.08333…… 、Q+1/8=0.208333…… ですが、
0.08333…… には 2 が含まれないので適しません。
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