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[答881] 循環節n桁の有理数

ヤドカリ

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[答881] 循環節n桁の有理数


 0<Q<8/9 を満たす有理数 Q は小数に直すと循環節がn桁の純循環小数になり、1/9 を加えると、

 循環節の末尾が先頭に移動した(循環節の上(n-1)桁と下1桁が入れ替わった)循環小数になります。

 このような条件を満たす Q のうち 最小のものと そのときの循環節の長さ n は?

 また、条件を満たす Q のうち 最大のものと そのときの循環節の長さ n は?


[解答1]

 簡単のために 10n-1=N とすれば 10n-1=N/10+1/10 です。

 Qの循環節の上(n-1)桁を a,下1桁を b とすれば、Q=(10a+b)/N です。

 (10a+b)/N+1/9=(10n-1b+a)/N={(N/10+1/10)b+a}/N=b/10+(b/10+a)/N 、

 (9a+9b/10)/N=b/10-1/9 、10/9 をかけて (10a+b)/N=b/9-10/81 、

 Q=(9b-10)/81 (b=2,3,4,5,6,7,8,9) 、

 b=2 のとき Q=8/81 、循環節は 098765432 の 9桁で、これが最小、

 b=9 のとき Q=71/81 、循環節は 876543209 の 9桁で、これが最大です。


[解答2]

 Q の 循環節の末尾数字を b とします。

 Q+1/9 は Q の 「0.」と小数第1位の間に b が挟まるだけなので、Q+1/9 を 10倍すれば、

 10(Q+1/9)=b+Q となり、9Q=b-10/9 、Q=(9b-10)/81 (b=2,3,4,5,6,7,8,9) 、

 b=2 のとき Q=8/81 、循環節は 098765432 の 9桁で、これが最小、

 b=9 のとき Q=71/81 、循環節は 876543209 の 9桁で、これが最大です。


[参考1]

 題意に合う数は以下のようになります。循環節にアンダーラインを付けています。

  8/81=0.098765432098765432…… , 8/81+1/9=17/81=0.209876543209876543……

 17/81=0.209876543209876543…… ,17/81+1/9=26/81=0.320987654320987654……

 26/81=0.320987654320987654…… ,26/81+1/9=35/81=0.432098765432098765……

 35/81=0.432098765432098765…… ,35/81+1/9=44/81=0.543209876543209876……

 44/81=0.543209876543209876…… ,44/81+1/9=53/81=0.654320987654320987……

 53/81=0.654320987654320987…… ,53/81+1/9=62/81=0.765432098765432098……

 62/81=0.765432098765432098…… ,62/81+1/9=71/81=0.876543209876543209……

 71/81=0.876543209876543209…… ,71/81+1/9=80/81=0.987654320987654320……


[参考2]

 Q=(9b-10)/81 (b=2,3,4,5,6,7,8,9) は何れも既約分数で、

 分母の 81 は 999999999 の約数で 999 や 9 の約数ではありませんので、循環節は9桁です。


[参考3]

 答の 8/81,71/81 と 1/9 が純循環小数であることに留意しておく必要があります。

 もし、問題の 1/9 が 1/8 であれば、Q=(4b-5)/36 (b=2,3,4,5,6,7,8,9) になり、

 b=2 のとき Q=1/12=0.08333…… 、Q+1/8=0.208333…… ですが、

 0.08333…… には 2 が含まれないので適しません。

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Comments 17

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
蓮華が綺麗に咲いていますね
此方でも未だ咲いていますが昔のように沢山の蓮華畑を見掛けることは少なく成りましたね
ナイス♪

樹☆  
No title

こんにちは
今年まだれんげ草見てないです。
どこに咲いてるんだろう。

アキチャン  
No title

こんにちは
レンゲの一面、のどかな風景ですよね^_^

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
理屈じゃ解けず…^^;
1/9=0.111… なので…
元は…987654321だと…1098765432
so…0987654321だと…209876543 ならいいので…
0.098765432…=98765432/999999999=8/81
また、209876543→320987654 と移動して行くので…
最大は…0.876543209=876543209/999999999=71/81<72/81
8/81+1/9=17/81
8/81+7/9=72/81なんていい加減な方法で求めましたぁ ^^;…Orz…
(8/81+8/9=80/81=0.987654320)

1/99を加えると、下二桁が頭に来る時なら…
Min=0.00999897…100908070605040302
Max=0.989796…1009080706050403020099
だと思うも...分数で表す能わず…^^;...

風 草  
No title

レンゲソウのお花、可愛いですね。
寂しかった田圃もレンゲの花で彩られる季節になりましたね。

ナイス☆

たけちゃん  
No title

1/99を加えて,下2桁が先頭に来る場合についても,
[解答2]と同様に結論が得られます.
元の循環小数をQ,循環節の下2桁をbとして,
100(Q+1/99)=b+Qとなり,99Q=b-100/99,Q=(99b-100)/9801となって,
最小数は,b=2のときの98/9801,最大数は,b=99のときの9701/9801となりますね.

循環節の長さNが偶数であることさえわかれば
(これは,1/99が10^N-1を分母とする分数で表されることからすぐ言えます),
100進法の小数を考えているのと同じことになります.

たけちゃん  
No title

[参考3]は,もっともではありますが,
そもそも1/k は,kが2または5で割り切れるとき,
2つの,循環節が同じ長さの純循環小数の差とはなり得ず,
問題の1/9を1/8に変えた問題が解を持たないことは明らかだと思います.

Q+1/9について,[解答2]のように進めたとき,例えば8/81は純循環小数で,
これに1/9を加えたものは,「0.」の直後に「2」を追加したものになり,
やはり純循環小数となることを考慮すれば,
「元の小数の循環節の末尾は当然に2のはず」としてよいのではないでしょうか.

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントをありがとうございます。
仰る通り、昔はもっとたくさんの蓮華草が咲いていました。
子供のころに見慣れた花は、気持ちを和ませます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
こちらでも、都会から離れないと蓮華草は見られません。
毎年見たい花ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
一面の蓮華草を見ることも少なくなりました。
のどかな風景はいつまでも残っていてほしいです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
1/99 を加えるときのことは。
下にたけちゃんさんが書いてくれていますのでそれをご覧ください。

ヤドカリ  
No title

風草さん、コメントとナイス!をありがとうございます。
田んぼに一面の蓮華草が咲いている風景はいいですね。
アップにしても可愛い花だと思います。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントをありがとうございます。
スモークマンさんの疑問に対する解答も有難うございます。

[参考3]については、仰る通りですが、[解答2]で、
「Q+1/9 は Q の 「0.」と小数第1位の間に b が挟まる」
というのは、必要条件であるが、
1/9 が 1/8 であれば十分条件でないので、
出た答も 1/9 も純循環小数であることに
注意しておく必要を感じての記述です。
説明より確かめるのが手っ取り早く確実と思ってのことでした。
ご指摘を読んで1行目を書き換えました。

ひとりしずか  
No title

コメント入れ忘れちゃってるー
レンゲソウ実物みたことないような・・・
レンゲ畑はなやかでしょうね~

ニリンソウ  
No title

やどかりさん、毎年のことブログでこの花見ると
思うのです。
何処さがしても蓮華の花は新潟では見れません。
いいね~~ ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
東北の方は田んぼに蓮華草を使わないのでしょうか?
マメ科の植物の根粒菌を利用した上手い方法だと思います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
沢山の種類の花が咲き、コメの生産も多い新潟で、
蓮華草を見られないのは意外だと、
毎年、ニリンソウさんのコメントで思います。