[答882] 直角三角形に含まれない部分

[答882] 直角三角形に含まれない部分


　１辺が 4 の正方形の隣り合う２辺を利用して斜辺をかき、面積が 4 の直角三角形をつくります。

　この正方形の内部で、面積が 4 のどの直角三角形の内部にもなりえない部分の面積は？


[解答]

　１辺が 4 の正方形ABCDの辺AB上に点S，辺BC上に点T をとって、△BTS＝4 とします。

　また、xy平面上で、A(0，4)，B(0，0)，C(4，0)，S(0，s)，T(t，0) とすれば、

　△BTS＝4 より st＝8 、s≦4，t≦4 より、2≦t≦4 です。

　直線STの式は sx＋ty＝st だから、sx＋ty＝8 、stx＋t²y＝8t 、8x＋t²y＝8t です。

　従って、f(t)＝yt²－8t＋8x とおくとき、

　f(t)＝0 が 2≦t≦4 の範囲で解をもつ正方形内の(x，y)が斜辺STが存在する範囲になります。

　y＝0 のとき f(t)＝－8t＋8x＝0 の解は t＝x 、よって 2≦x≦4 です。

　y≠0 のとき 0＜y≦4 で、f(t)＝yt²－8t＋8x＝y(t－4/y)²－16/y＋8x 、

　2≦t≦4 の範囲で f(t)＝0 が１つの解をもつ場合、

　 f(2)f(4)≦0 、(4y－16＋8x)(16y－32＋8x)≦0 、(2x＋y－4)(x＋2y－4)≦0 です。

　2≦t≦4 の範囲で f(t)＝0 が重解を含む２つの解をもつ場合、

　 f(2)≧0，f(4)≧0，2≦4/y≦4，－16/y＋8x≦0 、

　 4y－16＋8x≧0，16y－32＋8x≧0，2y≦4≦4y，－16＋8xy≦0 、

　 y≧－2x＋4，y≧－x/2＋2，1≦y≦2，y≦2/x です。

　求めるのは中央の部分の面積で、その面積をSとすれば、

　S/4＝∫₁² (2－2/x)dx＝2[x]₁²－2[log x]₁²＝2(2－1)－2(log2－log1)＝2－2･log2 となり、

　S＝8－8･log2 です。


☆ 斜辺が通過しない部分であれば、４隅を加えて、8－8･log2＋4･16/15＝184/15－8･log2 です。

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