[答882] 直角三角形に含まれない部分
[答882] 直角三角形に含まれない部分
1辺が 4 の正方形の隣り合う2辺を利用して斜辺をかき、面積が 4 の直角三角形をつくります。
この正方形の内部で、面積が 4 のどの直角三角形の内部にもなりえない部分の面積は?
[解答]
1辺が 4 の正方形ABCDの辺AB上に点S,辺BC上に点T をとって、△BTS=4 とします。
また、xy平面上で、A(0,4),B(0,0),C(4,0),S(0,s),T(t,0) とすれば、
△BTS=4 より st=8 、s≦4,t≦4 より、2≦t≦4 です。
直線STの式は sx+ty=st だから、sx+ty=8 、stx+t2y=8t 、8x+t2y=8t です。
従って、f(t)=yt2-8t+8x とおくとき、
f(t)=0 が 2≦t≦4 の範囲で解をもつ正方形内の(x,y)が斜辺STが存在する範囲になります。
y=0 のとき f(t)=-8t+8x=0 の解は t=x 、よって 2≦x≦4 です。
y≠0 のとき 0<y≦4 で、f(t)=yt2-8t+8x=y(t-4/y)2-16/y+8x 、
2≦t≦4 の範囲で f(t)=0 が1つの解をもつ場合、
f(2)f(4)≦0 、(4y-16+8x)(16y-32+8x)≦0 、(2x+y-4)(x+2y-4)≦0 です。
2≦t≦4 の範囲で f(t)=0 が重解を含む2つの解をもつ場合、
f(2)≧0,f(4)≧0,2≦4/y≦4,-16/y+8x≦0 、
4y-16+8x≧0,16y-32+8x≧0,2y≦4≦4y,-16+8xy≦0 、
y≧-2x+4,y≧-x/2+2,1≦y≦2,y≦2/x です。
求めるのは中央の部分の面積で、その面積をSとすれば、
S/4=∫12 (2-2/x)dx=2[x]12-2[log x]12=2(2-1)-2(log2-log1)=2-2・log2 となり、
S=8-8・log2 です。
☆ 斜辺が通過しない部分であれば、4隅を加えて、8-8・log2+4・16/15=184/15-8・log2 です。
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