FC2ブログ

Welcome to my blog

[答882] 直角三角形に含まれない部分

ヤドカリ

ヤドカリ



[答882] 直角三角形に含まれない部分


 1辺が 4 の正方形の隣り合う2辺を利用して斜辺をかき、面積が 4 の直角三角形をつくります。

 この正方形の内部で、面積が 4 のどの直角三角形の内部にもなりえない部分の面積は?


[解答]

 1辺が 4 の正方形ABCDの辺AB上に点S,辺BC上に点T をとって、△BTS=4 とします。

 また、xy平面上で、A(0,4),B(0,0),C(4,0),S(0,s),T(t,0) とすれば、

 △BTS=4 より st=8 、s≦4,t≦4 より、2≦t≦4 です。

 直線STの式は sx+ty=st だから、sx+ty=8 、stx+t2y=8t 、8x+t2y=8t です。

 従って、f(t)=yt2-8t+8x とおくとき、

 f(t)=0 が 2≦t≦4 の範囲で解をもつ正方形内の(x,y)が斜辺STが存在する範囲になります。

 y=0 のとき f(t)=-8t+8x=0 の解は t=x 、よって 2≦x≦4 です。

 y≠0 のとき 0<y≦4 で、f(t)=yt2-8t+8x=y(t-4/y)2-16/y+8x 、

 2≦t≦4 の範囲で f(t)=0 が1つの解をもつ場合、

  f(2)f(4)≦0 、(4y-16+8x)(16y-32+8x)≦0 、(2x+y-4)(x+2y-4)≦0 です。

 2≦t≦4 の範囲で f(t)=0 が重解を含む2つの解をもつ場合、

  f(2)≧0,f(4)≧0,2≦4/y≦4,-16/y+8x≦0 、

  4y-16+8x≧0,16y-32+8x≧0,2y≦4≦4y,-16+8xy≦0 、

  y≧-2x+4,y≧-x/2+2,1≦y≦2,y≦2/x です。

 求めるのは中央の部分の面積で、その面積をSとすれば、

 S/4=∫12 (2-2/x)dx=2[x]12-2[log x]12=2(2-1)-2(log2-log1)=2-2・log2 となり、

 S=8-8・log2 です。


☆ 斜辺が通過しない部分であれば、4隅を加えて、8-8・log2+4・16/15=184/15-8・log2 です。

.

スポンサーサイト



Comments 12

There are no comments yet.
樹☆  
No title

おはようございます。
宝鐸草ですか?
緑が眩しいです。

GW前半楽しみましょう

ひとりしずか  
No title

ホウチャクソウ、ナルコユリ、アマドコロちょっと見には見わけがつかなくて・・・
我が家の庭のはアマドコロのようです~

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしゃまことにいい加減なイメージで求めちゃいまして…めんご Orz
(2,2)から、直線への垂線の足のの点を式で表せればと思うもよくわからないままでした…^^;
この美しい模様を光の三原色で描いて頂ければ...万華鏡みたいに見えるはずでしょね☆ ^^☆

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
ホウチャクソウと言うのですネ
始めてみる花のようです
花はアマドコロ菜も似ているようですネ

ナイス☆彡

アキチャン  
No title

こんにちわ。
うつむいたお花、初めてみます。。
新葉がきれいですね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、宝鐸草です。
緑が目立つ初夏の花ですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ホウチャクソウは明らかに違います。
ナルコユリとアマドコロは、
アマドコロの苗をナルコユリと称して売られていることもあり、
区別が難しいのではないかと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントをありがとうございます。
図形には美しいものがありますね。
ただ、計算するとなれば複雑なことが多いです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントをありがとうございます。
アマドコロやナルコユリはタイツリソウのように花が並びます。
ホウチャクソウは違いますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ホウチャクソウは白に少し緑がかって新緑を思わせます。
初夏の緑は気持ちいいですね。

ニリンソウ  
No title

ホウチャクソウこちらでも!
緑の森に似合います。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
ホウチャクソウの緑がかかった白はまさに初夏、
この季節に似合いますね。