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[答884] 重心・内心・垂心

ヤドカリ

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[答884] 重心・内心・垂心


 周囲の長さが 20 で、重心と垂心を結ぶ線分の中点が内心である三角形の3辺の長さは?

 正三角形は重心と垂心が一致するので、除外します。


[解答1]

 △ABCにおいて、その重心をG,垂心をH,内心をI とし、BC=a,CA=b,AB=c とします。

 △ABCは正三角形でないので、等しくない辺があり、b>c としても一般性を失いません。

 BCの中点をM,AGの中点をD,AHの延長とBCの交点をE,DIの延長とBCの交点をF とすれば、

 中点連結定理,垂心の性質より、DI//AH⊥BC になり、ME:MF=MA:MD=3:2 より 2ME=3MF になり、

 CE-BE=CM+ME-BE=BM+ME-BE=2ME=3MF=3(CF-CM)=3{(a+b-c)/2-a/2}=3(b-c)/2 。

 次に、三平方の定理より、AE2=AC2-CE2=AB2-BE2 、AC2-AB2=CE2-BE2

 (AC+AB)(AC-AB)=(CE+BE)(CE-BE) 、(b+c)(b-c)=a・3(b-c)/2 、2(b+c)(b-c)-3a(b-c)=0 、

 (b-c)(2b+2c-3a)=0 、同様にして、a,b を入れ替えた (a-c)(2a+2c-3b)=0 も成り立ちます。

 b-c=a-c=0 のとき a=b=c になり、△ABCが正三角形でないことに反します。

 b-c=2a+2c-3b=0 のとき 2a=b=c になり、

 2b+2c-3a=a-c=0 のとき a=2b=c になり、

 2b+2c-3a=2a+2c-3b=0 のとき a=b=2c になって、

 いずれの場合も3辺の比は 2:2:1 、3辺の和が 20 だから 3辺は 8,8,4 です。


[解答2]

 △ABCにおいて、その重心をG,垂心をH,内心をI とし、面積をS,BC=a,CA=b,AB=c とします。

 △ABCは正三角形でないので、等しくない辺があり、b>c としても一般性を失いません。

 後の計算を簡単にするために、a+b+c=x,a2+b2+c2=y とします。

 △HBC/S=2△IBC-△GBC=2a/x-1/3 、3x△HBC/S=6a-x 、

 同様に、3x△HCA/S=6b-x 、3x△HAB/S=6c-x 、

 △HBC:△HCA:△HAB=(6a-x):(6b-x):(6c-x) です。

 △HBC:△HCA:△HAB=tanA:tanB:tanC=sinA/cosA:sinB/cosB:sinC/cosC

  =1/(y-2a2):1/(y-2b2):1/(y-2c2) でもあるので、

 (6a-x)(y-2a2)=(6b-x)(y-2b2)=(6c-x)(y-2c2) 、

 6ay-12a3-xy+2a2x=6by-12b3-xy+2b2x=6cy-12c3-xy+2c2x 、

 3ay-6a3+a2x=3by-6b3+b2x=3cy-6c3+c2x 、

 3ay-6a3+a2x=3by-6b3+b2x より、

 3(a-b)y-6(a-b)(a2+ab+b2)+(a+b)(a-b)x=0 、

 (a-b){3y-6(a2+ab+b2)+(a+b)x}=0 、

 (a-b){3(a2+b2+c2)-6(a2+ab+b2)+(a+b)x}=0 、

 (a-b){-3(a+b)2+3c2+(a+b)x}=0 、(a-b){-3(x-c)2+3c2+(x-c)x}=0 、

 (a-b)x(5c-2x)=0 、(a-b)(5c-2x)=0 です。

 同様に、3by-6b3+b2x=3cy-6c3+c2x より (b-c)(5a-2x)=0 です。

 a-b=b-c=0 のとき a=b=c になり、△ABCが正三角形でないことに反します。

 a-b=5a-2(a+b+c)=0 のとき a=b=2c になり、

 5c-2(a+b+c)=b-c=0 のとき 2a=b=c になり、

 5c-2(a+b+c)=5a-2(a+b+c)=0 のとき a=2b=c になって、

 いずれの場合も3辺の比は 2:2:1 、3辺の和が 20 だから 3辺は 8,8,4 です。


[解答3]

 太字はベクトルを表すものとします。

 △ABCにおいて、その重心をG,垂心をH,内心をI とし、辺の長さを BC=a,CA=b,AB=c とします。

 また、位置ベクトルを C(0),A(a),B(b),H(xa+yb) とすれば、G((a+yb)/3),I((aa+bb)/(a+b+c)) です。

 H は GI を 2:1 に外分するから、xa+yb=2(aa+bb)/(a+b+c)-(ab)/3 になり、

 ab は一次独立だから、x=2a/(a+b+c)-1/3 ,y=2b/(a+b+c)-1/3 、

 3(a+b+c)x=6a-(a+b+c)=5a-b-c ,3(a+b+c)y=6b-(a+b+c)=5b-a-c です。

 また、|a|2=CA2=b2 、|b|2=CB2=a2 、c2=|ab|2=b2-2ab+a2ab=(a2+b2-c2)/2 です。

 次に、BH⊥CA だから {xa+(y-1)b}・a=0 、xb2+(y-1)(a2+b2-c2)/2=0 、

 3(a+b+c)xb2+3(a+b+c)(y-1)(a2+b2-c2)/2=0 、

 (5a-b-c)b2+(5b-a-c-3a-3b-3c)(a2+b2-c2)/2=0 、

 (5a-b-c)b2+(b-2a-2c)(a2+b2-c2)=0 、

 (5a-b-c)b2+(b-2a-2c)b2+(b-2a-2c)(a2-c2)=0 、

 (3a-3c)b2+(b-2a-2c)(a2-c2)=0 、(a-c){3b2+(b-2a-2c)(a+c)}=0 、

 (a-c){3b2+b(a+c)-2(a+c)2}=0 、(a-c)(b+a+c)(3b-2a-2c)=0 、(a-c)(3b-2a-2c)=0  です。

 また、CH⊥AB だから (xa+yb)・(ab)=0 、xb2-ya2+(y-x)(a2+b2-c2)/2=0 、

 3(a+b+c)xb2-3(a+b+c)ya2+3(a+b+c)(y-x)(a2+b2-c2)/2=0 、

 (5a-b-c)b2-(5b-a-c)a2+(6b-6a)(a2+b2-c2)/2=0 、

 5ab(b-a)-(b3-a3)-c(b2-a2)+3(b-a)(a2+b2-c2)=0 、

 (b-a){5ab-(b2+ab+a2)-c(b+a)+3(a2+b2-c2)}=0 、

 (b-a)(2a2+4ab+2b2-ac-bc-3c2)=0 、(b-a)(2a+2b-3c)(a+b+c)=0 、(b-a)(2a+2b-3c)=0 です。

 (a-c)(3b-2a-2c)=0,(b-a)(2a+2b-3c)=0 より、

 a-c=b-a=0 のとき a=b=c になり、△ABCが正三角形でないことに反します。

 a-c=2a+2b-3c=0 のとき a=2b=c になり、

 3b-2a-2c=b-a=0 のとき a=b=2c になり、

 3b-2a-2c=2a+2b-3c=0 のとき 2a=b=c になって、

 いずれの場合も3辺の比は 2:2:1 、3辺の和が 20 だから 3辺は 8,8,4 です。


[解答4]

 太字はベクトルを表すものとします。

 三角形の重心をG,外心をO,垂心をH,内心をI とすれば、O,G,H はこの順に一直線上にあり、

 OG:GH=1:2 です。この3点を通る直線をオイラー線といいます。

 二等辺三角形においては、頂角の二等分線上に 重心・外心・垂心があるので、内心もオイラー線上ですが、

 逆に、内心がオイラー線上にあるときに、二等辺三角形であることをまず示します。

 △ABCにおいて、辺の長さを BC=a,CA=b,AB=c とします。

 位置ベクトルを G(0),A(a),B(b),H(xa+yb) とすれば、

 C(-ab),I((aa+bb-ca-cb)/(a+b+c)) です。

 I が 直線GH上にあれば、xa+yb=k(aa+bb-ca-cb)/(a+b+c) と表され、

 ab は一次独立だから、x=k(a-c)/(a+b+c) ,y=k(b-c)/(a+b+c) です。

 また、二等辺三角形の頂点以外の頂点から 中線,角の二等分線,対辺への垂線を描けば、

 角の二等分線と対辺への垂線は 中線に関して同じ側にあるので、k>0 です。

 次に、c2=|AB|2=|ab|2=|a|2-2ab+|b|2

 a2=|BC|2=|a+2b|2=|a|2+4ab+4|b|2 、b2=|AC|2=|2ab|2=4|a|2+4ab+|b|2

 これを解けば、|a|2=(-a2+2b2+2c2)/9 ,|b|2=(2a2-b2+2c2)/9 ,ab=(a2+b2-5c2)/18 です。

 次に、BH⊥CA だから {xa+(y-1)b}・{2ab}=0 、x(2|a|2ab)+(y-1)(2ab+|b|2)=0 、

 x(-a2+5b2-c2)/18+(y-1)(a2-c2)/3=0 、x(-a2+5b2-c2)+6y(a+c)(a-c)-6(a+c)(a-c)=0 、

 (-a2+5b2-c2)k(a-c)/(a+b+c)+6(a+c)(a-c)k(b-c)/(a+b+c)-6(a+c)(a-c)=0 、

 a≠c のとき、(-a2+5b2-c2)k/(a+b+c)+6(a+c)k(b-c)/(a+b+c)-6(a+c)=0 、

 (-a2+5b2-c2)k+6(a+c)(b-c)k-6(a+c)(a+b+c)=0 、

 (-a2+5b2-7c2+6ab-6ac+6bc)k-6(a+c)(a+b+c)=0 ……(1) 、

 BH⊥CA から同様に、b≠c のとき、

 (5a2-b2-7c2+6ab+6ac-6bc)k-6(b+c)(a+b+c)=0 ……(2) 、

 よって、a≠c かつ b≠c のとき (1)-(2) より、

 (-6a2+6b2-12ac+12bc)k-6(a-b)(a+b+c)=0 、

 -6(a-b){(a+b+2c)k+(a+b+c)}=0 、a=b になります。

 よって、内心がオイラー線上にあれば、二等辺三角形になります。

 AB=AC としても一般性を失いませんので、BC=a,AB=AC=b,AM=h とします。

 h2=AM2=AB2-(BC/2)2=b2-a2/4=(2b+a)(2b-a)/4 になり、

 AG:GM=2:1 だから GM=h/3 、AI:IM=AB:BM=b:a/2=2b:a だから IM=ah/(a+2b) 、

 △ABM∽△BHM だから AM:BM=BM:HM 、HM=BM2/AM=a2/(4h)=ha2/(2b+a)(2b-a) ですので、

 GM:IM:HM=h/3:ah/(a+2b):ha2/(2b+a)(2b-a)=(2b+a)(2b-a):3a(2b-a):3a2

  =(4b2-a2):(6ab-3a2):3a2

 GH:IH=|4b2-a2-3a2|:|6ab-3a2-3a2|=4(b+a)|b-a|:6a|b-a|=2(b+a):3a 、

 OH=3GH/2 だから OH:IH=(b+a):a 、(OI+IH):IH=(b+a):a 、OI:IH=b:a=AB:BC です。

 ( 二等辺三角形では、等辺:底辺=OI:IH です )

 本問では AB:BC=OI:IH=2:1 、辺の比は 2:2:1 になって、

 周囲の長さが 20 だから、3辺は 8,8,4 です。

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Comments 15

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
真っ白のタイツリソウが綺麗ですね
こんなに沢山の鯛が釣れたら嬉しいでしょうね

ナイス♪

樹☆  
No title

おはようございます。
真っ白なタイツリソウ・・すてきです。
ちょろも鯛好きです。

昨日から雨がずっと降り続いてます。
そちらは如何ですか?

アキチャン  
No title

こんにちわ。
白いケマンソウ大好きです(o^-^o)
今日は一日雨のようです…って↑のひとにリコメしてます(笑)

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
「重心と垂心が1直線上にある」=「二等辺三角形」といえるので、
垂線上の2 : 1が重心の性質を使って計算しました ^^
いまだベクトルは使いこなせないまんま…^^; Orz~

たけちゃん  
No title

「重心と垂心が1直線上」は変では?
どんな2点も,1直線上にありますね.

スモークマン  
No title

>たけちゃんさんへ ^^
そっか…たしかに ^^;
失礼しましたOrz~

「頂点Aから対辺BCの中点を結ぶ線上に内心があれば、AB=ACで、
このとき、垂心もこの線上にありますから、3点が同一直線上ならば、二等辺三角形」と言えますよね?
三角形の3点でそれぞれの線分の交点が決まるので、逆に内心、垂心、重心の一が決まれば、元の△は一意に決まるはずからすると、上の二等辺三角形以外にはないと言えそうな…^^;…?

いずれにしても、わたしの解答は杜撰すぎましたぁ…^^;;
やどかりさん、申し訳ございません、今回はアウトということでお願いしまっす~m(_ _)m~v

ニリンソウ  
No title

白いたいつりそうですか~~
面白い構図ですね、イカが干してあるように見えて 笑

アイス

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
白いのでタイツリソウとは言いにくいですが、白が綺麗です。
今年は残念ながら、ピンクは見られませんでした。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
チョロ君はなかなかのグルメですね。
ところで、こちらも今日は弱い雨が降ったり止んだりでした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私は、白いのはタイを連想できないのでケマンソウと思っています。
訪問者どうしでのリコメも面白いですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、2度のコメントをありがとうございます。
二等辺三角形なら、内心がオイラー線上にあるのは明らかですが、
逆は示しにくいですね。
論理的には不十分でしたが、答だけでも正解にしていますので、
貴殿を不正解扱いするわけにはいきません。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントをありがとうございます。
スモークマンさんのコメントは、
「重心と垂心と内心が1直線上」という意味だと、
スモークマンさんの解答を見た私は解釈しました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
なるほど、イカツリソウと言ってもいいですね。
まさか「イカツリソウ」もあるのでは? と思って検索すると
「イカリソウ」しか出てきませんでした。

ひとりしずか  
No title

白一色もあるんですね~
寒さには強いようですが、こちらではまだ見たことがなくて~
この形見るとお笑いのひげ男爵を・・・

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントをありがとうございます。
昨日、記事にされたのですね。
タイツリソウの形は面白いです。