[答884] 重心･内心･垂心

[答884] 重心･内心･垂心


　周囲の長さが 20 で、重心と垂心を結ぶ線分の中点が内心である三角形の３辺の長さは？

　正三角形は重心と垂心が一致するので、除外します。


[解答1]

　△ABCにおいて、その重心をG，垂心をH，内心をI とし、BC＝a，CA＝b，AB＝c とします。

　△ABCは正三角形でないので、等しくない辺があり、b＞c としても一般性を失いません。

　BCの中点をM，AGの中点をD，AHの延長とBCの交点をE，DIの延長とBCの交点をF とすれば、

　中点連結定理，垂心の性質より、DI//AH⊥BC になり、ME：MF＝MA：MD＝3：2 より 2ME＝3MF になり、

　CE－BE＝CM＋ME－BE＝BM＋ME－BE＝2ME＝3MF＝3(CF－CM)＝3｛(a＋b－c)/2－a/2｝＝3(b－c)/2 。

　次に、三平方の定理より、AE²＝AC²－CE²＝AB²－BE² 、AC²－AB²＝CE²－BE² 、

　(AC＋AB)(AC－AB)＝(CE＋BE)(CE－BE) 、(b＋c)(b－c)＝a･3(b－c)/2 、2(b＋c)(b－c)－3a(b－c)＝0 、

　(b－c)(2b＋2c－3a)＝0 、同様にして、a，b を入れ替えた (a－c)(2a＋2c－3b)＝0 も成り立ちます。

　b－c＝a－c＝0 のとき a＝b＝c になり、△ABCが正三角形でないことに反します。

　b－c＝2a＋2c－3b＝0 のとき 2a＝b＝c になり、

　2b＋2c－3a＝a－c＝0 のとき a＝2b＝c になり、

　2b＋2c－3a＝2a＋2c－3b＝0 のとき a＝b＝2c になって、

　いずれの場合も３辺の比は 2：2：1 、３辺の和が 20 だから ３辺は 8，8，4 です。


[解答2]

　△ABCにおいて、その重心をG，垂心をH，内心をI とし、面積をS，BC＝a，CA＝b，AB＝c とします。

　△ABCは正三角形でないので、等しくない辺があり、b＞c としても一般性を失いません。

　後の計算を簡単にするために、a＋b＋c＝x，a²＋b²＋c²＝y とします。

　△HBC/S＝2△IBC－△GBC＝2a/x－1/3 、3x△HBC/S＝6a－x 、

　同様に、3x△HCA/S＝6b－x 、3x△HAB/S＝6c－x 、

　△HBC：△HCA：△HAB＝(6a－x)：(6b－x)：(6c－x) です。

　△HBC：△HCA：△HAB＝tanA：tanB：tanC＝sinA/cosA：sinB/cosB：sinC/cosC

　 ＝1/(y－2a²)：1/(y－2b²)：1/(y－2c²) でもあるので、

　(6a－x)(y－2a²)＝(6b－x)(y－2b²)＝(6c－x)(y－2c²) 、

　6ay－12a³－xy＋2a²x＝6by－12b³－xy＋2b²x＝6cy－12c³－xy＋2c²x 、

　3ay－6a³＋a²x＝3by－6b³＋b²x＝3cy－6c³＋c²x 、

　3ay－6a³＋a²x＝3by－6b³＋b²x より、

　3(a－b)y－6(a－b)(a²＋ab＋b²)＋(a＋b)(a－b)x＝0 、

　(a－b)｛3y－6(a²＋ab＋b²)＋(a＋b)x｝＝0 、

　(a－b)｛3(a²＋b²＋c²)－6(a²＋ab＋b²)＋(a＋b)x｝＝0 、

　(a－b)｛－3(a＋b)²＋3c²＋(a＋b)x｝＝0 、(a－b)｛－3(x－c)²＋3c²＋(x－c)x｝＝0 、

　(a－b)x(5c－2x)＝0 、(a－b)(5c－2x)＝0 です。

　同様に、3by－6b³＋b²x＝3cy－6c³＋c²x より　(b－c)(5a－2x)＝0 です。

　a－b＝b－c＝0 のとき a＝b＝c になり、△ABCが正三角形でないことに反します。

　a－b＝5a－2(a＋b＋c)＝0 のとき a＝b＝2c になり、

　5c－2(a＋b＋c)＝b－c＝0 のとき 2a＝b＝c になり、

　5c－2(a＋b＋c)＝5a－2(a＋b＋c)＝0 のとき a＝2b＝c になって、

　いずれの場合も３辺の比は 2：2：1 、３辺の和が 20 だから ３辺は 8，8，4 です。


[解答3]

　太字はベクトルを表すものとします。

　△ABCにおいて、その重心をG，垂心をH，内心をI とし、辺の長さを BC＝a，CA＝b，AB＝c とします。

　また、位置ベクトルを C(0)，A(a)，B(b)，H(xa＋yb) とすれば、G((a＋yb)/3)，I((aa＋bb)/(a＋b＋c)) です。

　H は GI を 2：1 に外分するから、xa＋yb＝2(aa＋bb)/(a＋b＋c)－(a＋b)/3 になり、

　a ，b は一次独立だから、x＝2a/(a＋b＋c)－1/3 ，y＝2b/(a＋b＋c)－1/3 、

　3(a＋b＋c)x＝6a－(a＋b＋c)＝5a－b－c ，3(a＋b＋c)y＝6b－(a＋b＋c)＝5b－a－c です。

　また、|a|²＝CA²＝b² 、|b|²＝CB²＝a² 、c²＝|a－b|²＝b²－2a･b＋a² 、a･b＝(a²＋b²－c²)/2 です。

　次に、BH⊥CA だから ｛xa＋(y－1)b｝･a＝0 、xb²＋(y－1)(a²＋b²－c²)/2＝0 、

　3(a＋b＋c)xb²＋3(a＋b＋c)(y－1)(a²＋b²－c²)/2＝0 、

　(5a－b－c)b²＋(5b－a－c－3a－3b－3c)(a²＋b²－c²)/2＝0 、

　(5a－b－c)b²＋(b－2a－2c)(a²＋b²－c²)＝0 、

　(5a－b－c)b²＋(b－2a－2c)b²＋(b－2a－2c)(a²－c²)＝0 、

　(3a－3c)b²＋(b－2a－2c)(a²－c²)＝0 、(a－c)｛3b²＋(b－2a－2c)(a＋c)｝＝0 、

　(a－c)｛3b²＋b(a＋c)－2(a＋c)²｝＝0 、(a－c)(b＋a＋c)(3b－2a－2c)＝0 、(a－c)(3b－2a－2c)＝0　 です。

　また、CH⊥AB だから (xa＋yb)･(a－b)＝0 、xb²－ya²＋(y－x)(a²＋b²－c²)/2＝0 、

　3(a＋b＋c)xb²－3(a＋b＋c)ya²＋3(a＋b＋c)(y－x)(a²＋b²－c²)/2＝0 、

　(5a－b－c)b²－(5b－a－c)a²＋(6b－6a)(a²＋b²－c²)/2＝0 、

　5ab(b－a)－(b³－a³)－c(b²－a²)＋3(b－a)(a²＋b²－c²)＝0 、

　(b－a)｛5ab－(b²＋ab＋a²)－c(b＋a)＋3(a²＋b²－c²)｝＝0 、

　(b－a)(2a²＋4ab＋2b²－ac－bc－3c²)＝0 、(b－a)(2a＋2b－3c)(a＋b＋c)＝0 、(b－a)(2a＋2b－3c)＝0 です。

　(a－c)(3b－2a－2c)＝0，(b－a)(2a＋2b－3c)＝0 より、

　a－c＝b－a＝0 のとき a＝b＝c になり、△ABCが正三角形でないことに反します。

　a－c＝2a＋2b－3c＝0 のとき a＝2b＝c になり、

　3b－2a－2c＝b－a＝0 のとき a＝b＝2c になり、

　3b－2a－2c＝2a＋2b－3c＝0 のとき 2a＝b＝c になって、

　いずれの場合も３辺の比は 2：2：1 、３辺の和が 20 だから ３辺は 8，8，4 です。


[解答4]

　太字はベクトルを表すものとします。

　三角形の重心をG，外心をO，垂心をH，内心をI とすれば、O，G，H はこの順に一直線上にあり、

　OG：GH＝1：2 です。この３点を通る直線をオイラー線といいます。

　二等辺三角形においては、頂角の二等分線上に 重心･外心･垂心があるので、内心もオイラー線上ですが、

　逆に、内心がオイラー線上にあるときに、二等辺三角形であることをまず示します。

　△ABCにおいて、辺の長さを BC＝a，CA＝b，AB＝c とします。

　位置ベクトルを G(0)，A(a)，B(b)，H(xa＋yb) とすれば、

　C(－a－b)，I((aa＋bb－ca－cb)/(a＋b＋c)) です。

　I が 直線GH上にあれば、xa＋yb＝k(aa＋bb－ca－cb)/(a＋b＋c) と表され、

　a ，b は一次独立だから、x＝k(a－c)/(a＋b＋c) ，y＝k(b－c)/(a＋b＋c) です。

　また、二等辺三角形の頂点以外の頂点から 中線，角の二等分線，対辺への垂線を描けば、

　角の二等分線と対辺への垂線は 中線に関して同じ側にあるので、k＞0 です。

　次に、c²＝|AB|²＝|a－b|²＝|a|²－2a･b＋|b|² 、

　a²＝|BC|²＝|a＋2b|²＝|a|²＋4a･b＋4|b|² 、b²＝|AC|²＝|2a＋b|²＝4|a|²＋4a･b＋|b|² 、

　これを解けば、|a|²＝(－a²＋2b²＋2c²)/9 ，|b|²＝(2a²－b²＋2c²)/9 ，a･b＝(a²＋b²－5c²)/18 です。

　次に、BH⊥CA だから ｛xa＋(y－1)b｝･｛2a＋b｝＝0 、x(2|a|²＋a･b)＋(y－1)(2a･b＋|b|²)＝0 、

　x(－a²＋5b²－c²)/18＋(y－1)(a²－c²)/3＝0 、x(－a²＋5b²－c²)＋6y(a＋c)(a－c)－6(a＋c)(a－c)＝0 、

　(－a²＋5b²－c²)k(a－c)/(a＋b＋c)＋6(a＋c)(a－c)k(b－c)/(a＋b＋c)－6(a＋c)(a－c)＝0 、

　a≠c のとき、(－a²＋5b²－c²)k/(a＋b＋c)＋6(a＋c)k(b－c)/(a＋b＋c)－6(a＋c)＝0 、

　(－a²＋5b²－c²)k＋6(a＋c)(b－c)k－6(a＋c)(a＋b＋c)＝0 、

　(－a²＋5b²－7c²＋6ab－6ac＋6bc)k－6(a＋c)(a＋b＋c)＝0 ……(1) 、

　BH⊥CA から同様に、b≠c のとき、

　(5a²－b²－7c²＋6ab＋6ac－6bc)k－6(b＋c)(a＋b＋c)＝0 ……(2) 、

　よって、a≠c かつ b≠c のとき (1)－(2) より、

　(－6a²＋6b²－12ac＋12bc)k－6(a－b)(a＋b＋c)＝0 、

　－6(a－b)｛(a＋b＋2c)k＋(a＋b＋c)｝＝0 、a＝b になります。

　よって、内心がオイラー線上にあれば、二等辺三角形になります。

　AB＝AC としても一般性を失いませんので、BC＝a，AB＝AC＝b，AM＝h とします。

　h²＝AM²＝AB²－(BC/2)²＝b²－a²/4＝(2b＋a)(2b－a)/4 になり、

　AG：GM＝2：1 だから GM＝h/3 、AI：IM＝AB：BM＝b：a/2＝2b：a だから IM＝ah/(a＋2b) 、

　△ABM∽△BHM だから AM：BM＝BM：HM 、HM＝BM²/AM＝a²/(4h)＝ha²/(2b＋a)(2b－a) ですので、

　GM：IM：HM＝h/3：ah/(a＋2b)：ha²/(2b＋a)(2b－a)＝(2b＋a)(2b－a)：3a(2b－a)：3a²

　 ＝(4b²－a²)：(6ab－3a²)：3a² 、

　GH：IH＝|4b²－a²－3a²|：|6ab－3a²－3a²|＝4(b＋a)|b－a|：6a|b－a|＝2(b＋a)：3a 、

　OH＝3GH/2 だから OH：IH＝(b＋a)：a 、(OI＋IH)：IH＝(b＋a)：a 、OI：IH＝b：a＝AB：BC です。

　( 二等辺三角形では、等辺：底辺＝OI：IH です )

　本問では AB：BC＝OI：IH＝2：1 、辺の比は 2：2：1 になって、

　周囲の長さが 20 だから、３辺は 8，8，4 です。

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