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[答885] 四角形の辺の中点との対角線

ヤドカリ

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[答885] 四角形の辺の中点との対角線


 四角形ABCDの 辺AB,BC,CD,DA の中点をそれぞれ E,F,G,H とします。

 AC=32,EG=36,FH=44 のとき、対角線BDの長さは? また、四角形ABCDの面積は?


[解答]

 四角形ABCDの面積を S とします。

 中点連結定理により、EF=HG=AC/2 ,EF//HG//AC だから、四角形EFGHは平行四辺形で、

 △BFE=△BCA/4 ,△DHG=△DAC/4 だから、△BFE+△DHG=S/4 、同様に、△AEH+△CGF=S/4 、

 よって、平行四辺形EFGH=S-S/4-S/4=S/2 です。

 また、平行四辺形EFGHは3辺が AC/2=16,EG/2=18,FH/2=22 である三角形の面積の4倍で、

 (16+18+22)/2=28 だから、ヘロンの公式により、

 S/2=4√{28(28-16)(28-18)(28-22)}=4√(28・12・10・6)=96√35 、S=192√35 です。

 次に、△EFHにおいてパップスの中線定理により、

 EF2+EH2=2{(EG/2)2+(FH/2)2}、(AC/2)2+(BD/2)2=2{(EG/2)2+(FH/2)2}、

 BD2=2(EG2+FH2)-AC2=2(362+442)-322=42{2(92+112)-82}=42・340 、

 BD=4√340=4・2√85=8√85 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

真っ白いイカリソウ
まばゆい光放っているように見えます!

樹☆  
No title

おはようございます。
白碇草・・この形ならわたしもわかります。
でも梅の形のは碇じゃないからわからなかったですよ。
いろんな形があるんですね。奥が深いです。

今日最後のお休みですね。楽しみましょう。

さっちゃんこ  
No title

こんにちは♪
イカリソウ 真っ白で綺麗ですね!!
ナイス♪

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
お天気に恵まれた穏やかなGWでした ^^

平行四辺形は全体の面積の半分(平均)になることにしばらく時間かかったり…^^;
EHは平行四辺形の対角線の交わりの角度のcos=xを使って…
16^2=18^2+22^2-2*18*22*x
EH^2=18^2+22^2+2*18*22*x=2*(18^2+22^2)-16^2=1360=2^4*5*17
EH=4√85
BD=2*EH=8√85
と求めましたぁ ^^ Orz~

明日からまた現実に復帰しなければ…^^;...

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この前もイカリソウをアップしたのですが、
その後に真っ白なイカリソウに出会いました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
真っ白なイカリソウが輝いていました。
こんな白い花に出会えると嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
白い花が好きな私ですが、
このような透明感のある白い花にはハッとします。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
この問題は平行四辺形が見えれば何とかなる問題でした。
それに気づけなければどのように解いていいのか分かりません。

ニリンソウ  
No title

トキワイカリソウかな
この形がユニークですね、葉を付けたまま
越冬します。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
トキワイカリソウだと思います。
この前アップしてから後に、綺麗な白のを見つけて、
この写真も載せたくなりました。