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[答886] 台形の対角線の長さの平方の和

ヤドカリ

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[答886] 台形の対角線の長さの平方の和


 AB=16,CD=20,AD・BC=115,AD//BC の 台形ABCDにおいて、 AC2+BD2=?


[解答1]

 座標平面上で、A(a,h),B(0,0),C(c,0),D(d,h) (0<a<d,0<c) とします。

 AB2=a2+h2=256 ,CD2=(d-c)2+h2=400 ,AD・BC=(d-a)c=115 です。

 AC2+AD2=(c-a)2+h2+d2+h2

  =(d-c)2+h2+a2+h2+(c-a)2-(d-c)2+d2-a2

  =400+256+(d-a)(2c-a-d)+(d+a)(d-a)=656+2c(d-a)=656+2・115=886 です。


[解答2]

 ABの中点を M,CDの中点を N とします。

 パップスの中線定理より、AC2+AD2=2{AN2+(CD/2)2}=2AN2+CD2/2 、

 同様に、BC2+BD2=2BN2+CD2/2 ,AN2+BN2=2MN2+AB2/2 です。

 AC2+AD2+BC2+BD2=2(AN2+BN2)+CD2=2(2MN2+AB2/2)+CD2=(2MN)2+AB2+CD2

  =(AD+BC)2+AB2+CD2=AD2+2AD・BC+BC2+AB2+CD2

 AC2+BD2=2AD・BC+AB2+CD2=2・115+162+202=886 です。

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Comments 10

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樹☆  
No title

おはようございます。
アマドコロ?
ナルコユリと間違えたことがあります。似てますね。

いいお天気です。娘と軍艦島クルーズ行ってきます。

ニリンソウ  
No title

ナルコユリでしょうか、小さな花が2個づつ並んで
鳴子のようです。

ナイス

ひとりしずか  
No title

アマドコロのようですが~
我が家の庭にもたくさん咲いています~
ところで1本ホウチャクソウが咲くかも・・・

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
アマドコロでしょうか
ナルコユリとの区別がイマイチです
何時も迷ってしまいます

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速ンコメントとナイス!をありがとうございます。
アマドコロろナルコユリの区別は難しいですね。
それから、軍艦島、世界遺産になりそうですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
私はナルコユリと思って撮ったのですが自信はありません。
姿を見ると本当に鳴子のようですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
庭にたくさん咲いているなんて羨ましいです。
何度見ても名前に自信はないのですが、姿がいいですね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これは…ADとBCは一意に決まらないと思えたので…^^;
勝手にAD=5,, BC=23と置いて考えちゃいました…Orz…
上のような発想は気づけませんわ…^^;;☆

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントをありがとうございます。
私も区別がイマイチです。
迷いますし、自信も持てないです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
一意に決まらなくても、決まるものもありますね。
出題者を信用して、答が一意に定まると思えば、
貴殿の出し方が楽な方法だと思います。