[答85] 菱形の１辺の長さ

[答85] 菱形の１辺の長さ


　図のように、AB＝8cm, AD＝16cmの長方形ABCDの各辺にP,Q,R,Sを AS＝CQ, AP＝CR となる

　ようにとると、四角形PQRSは面積が 68cm² の菱形になりました。

　この菱形PQRSの１辺の長さは？



[解答1]

　AS＝CQ＝ｘcm, AP＝CR＝ｙcm とすると、

　PS²＝PQ² より、x²＋y²＝(16－x)²＋(8－y)²、簡単にして、y＝20－2x。

　また、面積は、xy＋(16－x)(8－y)＝8･16－68、簡単にして、xy－4x－8y＋34＝0。

　これを解いて、(x,y)＝(7,6),(9,2)。

　いずれの場合も、PS²＝x²＋y²＝85 となるから、菱形PQRSの１辺の長さは√85 cm。


[解答2]

　PR⊥SQ で PR：SQ＝AD：AB＝2：1 だから、SQ＝2a cm とすると、PR＝4a cm。

　面積は、4a²＝68、従って、a²＝17。

　PS²＝a²＋(2a)²＝5a²＝85 となるから、菱形PQRSの１辺の長さは√85 cm。

☆ この解答は注意が必要です。AD：AB＝2：1 しか使っていません。

　この条件だけでは、長方形にこの大きさの菱形がぴったりハマるかどうか分かりません。

　AD＜PR＜BD を確かめる必要があります。PR＝4√17, AD＝16＝4√16, BD＝8√5＝4√20 でＯＫです。

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