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[答889] 約数の総和

ヤドカリ

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[答889] 約数の総和


 自然数 n に対して、n の正の約数の総和を S(n) で表すことにします。

 例えば S(21)=1+3+7+21=32=25 です。

 n=21 のように、S(n)=2k (kは自然数) と表されるときの自然数 n は

 2≦n≦1000 の範囲に n=21 を含めて何個? また、そのうちの最大の n の値は?


[解答]

 2k (kは自然数) と表される自然数を「2の累乗」ということにします。

 ( 20=1 は「2の累乗」から除いています )   

 n が偶数であれば、自然数a,bを用いて n=2ab (a≧1) と表され、

 S(n)=S(2a)S(b)=(2a+1-1)S(b) で、2a+1-1 は3以上の奇数なので、「2の累乗」になりません。

 よって、n は奇数で、奇素数p,q,r,…… と 自然数a,b,c,…… を用いて

 n=pa・qb・rc・…… と素因数分解され、

 S(n)=(1+p+p2+……+pa)(1+q+q2+……+qb)(1+r+r2+……+rc)……

 ですので、

 1+p+p2+……+pa ,1+q+q2+……+qb ,1+r+r2+……+rc ,……

 のすべてが、「2の累乗」です。

 1+p+p2+……+pa が「2の累乗」であれば、偶数ですので、a は奇数で、

 1+p+p2+……+pa=(1+p)(1+p2+p4+……+pa-1) が「2の累乗」、

 a≧3 のとき、1+p ,1+p2+p4+……+pa-1 はともに「2の累乗」になる必要があり、

 1+p2+p4+……+pa-1 が偶数になるためには、(a-1)/2 が奇数で、

 1+p2+p4+……+pa-1=(1+p2)(1+p4+p8+……+pa-3) で、

 ここで、p は3以上の奇数だから、

 1+p2=(p+1)(p-1)+2 ,1+p2≧1+32=10 、

 1+p2 は 4で割ると2余る 10以上の自然数だから、「2の累乗」になりません。

 よって、a=1 で、同様に、b=c=……=1 です。

 すなわち、n=p・q・r・…… と素因数分解され、S(n)=(1+p)(1+q)(1+r)・…… です。

 1+p ,1+q ,1+r ,…… のすべてが、「2の累乗」です。

 p,q,r,…… は「2の累乗」から1を引いた素数(メルセンヌ素数)ですので、

 3,7,31,127,8191,…… であり、n はこれら自身またはいくつかの積で表される数になります。

 よって、2≦n≦1000 の範囲では、3,7,31,127,3・7,3・31,3・127,7・31,7・127,3・7・31 、

 すなわち、3,7,31,127,21,93,381,217,889,651 の 10個で、

 小さい順に並べると、3,7,21,31,93,127,217,381,651,889 、最大のものは 889 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
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今日は純白のハマナス!
シベが控えめで花びらの白がいっそう引き立って見えます。

樹☆  
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おはようございます
わたしが想像する知床に咲くハマナスは、こんなふうに
真っ白なお花です♪
今日も雨です。

さっちゃんこ  
No title

こんにちは♪
真っ白なハマナスの花!!
清々しい感じで良いですね!!

ナイス♪

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
aが奇数までで、1+p^2≡2 (mod 4) にまでは言えず…
じっさいに、計算してないことを確認しちゃいましたぁ ^^;
こういう問題は好きです♪
メルセンヌ素数の積しか、その約数の和が2の累乗にならないことは、
偶数の完全数とメルセンヌ素数との関係にも似てますね☆ Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
純白のハマナスが光に当たって輝いていました。
蕊も綺麗な状態でした。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
♪知床の岬にハマナスの咲くころ~
にこんなハマナスを想像されるのですか。
世界遺産が綺麗なままであってほしいですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
真っ白は清々しく感じます。
青空のもと、花弁の影もくっきりでした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
メルセンヌ素数の積だけが、約数の和が2の累乗になることを
見つけて問題にしました。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
真っ白できれいですね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
アキチャンさんも白い花がお好きでしたね。
純白の花は美しいですね。