[答889] 約数の総和

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[答889] 約数の総和


　自然数 n に対して、n の正の約数の総和を S(n) で表すことにします。

　例えば S(21)＝1＋3＋7＋21＝32＝2⁵ です。

　n＝21 のように、S(n)＝2^k (ｋは自然数) と表されるときの自然数 n は

　2≦n≦1000 の範囲に n＝21 を含めて何個？　また、そのうちの最大の n の値は？


[解答]

　2^k (ｋは自然数) と表される自然数を「２の累乗」ということにします。

　( 2⁰＝1 は「２の累乗」から除いています ) 　　

　n が偶数であれば、自然数a，bを用いて n＝2^ab (a≧1) と表され、

　S(n)＝S(2^a)S(b)＝(2^a+1－1)S(b) で、2^a+1－1 は３以上の奇数なので、「２の累乗」になりません。

　よって、n は奇数で、奇素数p，q，r，…… と 自然数a，b，c，…… を用いて

　n＝p^a･q^b･r^c･…… と素因数分解され、

　S(n)＝(1＋p＋p²＋……＋p^a)(1＋q＋q²＋……＋q^b)(1＋r＋r²＋……＋r^c)……

　ですので、

　1＋p＋p²＋……＋p^a ，1＋q＋q²＋……＋q^b ，1＋r＋r²＋……＋r^c ，……

　のすべてが、「２の累乗」です。

　1＋p＋p²＋……＋p^a が「２の累乗」であれば、偶数ですので、a は奇数で、

　1＋p＋p²＋……＋p^a＝(1＋p)(1＋p²＋p⁴＋……＋p^a-1) が「２の累乗」、

　a≧3 のとき、1＋p ，1＋p²＋p⁴＋……＋p^a-1 はともに「２の累乗」になる必要があり、

　1＋p²＋p⁴＋……＋p^a-1 が偶数になるためには、(a－1)/2 が奇数で、

　1＋p²＋p⁴＋……＋p^a-1＝(1＋p²)(1＋p⁴＋p⁸＋……＋p^a-3) で、

　ここで、p は３以上の奇数だから、

　1＋p²＝(p＋1)(p－1)＋2 ，1＋p²≧1＋3²＝10 、

　1＋p² は ４で割ると２余る 10以上の自然数だから、「２の累乗」になりません。

　よって、a＝1 で、同様に、b＝c＝……＝1 です。

　すなわち、n＝p･q･r･…… と素因数分解され、S(n)＝(1＋p)(1＋q)(1＋r)･…… です。

　1＋p ，1＋q ，1＋r ，…… のすべてが、「２の累乗」です。

　p，q，r，…… は「２の累乗」から１を引いた素数(メルセンヌ素数)ですので、

　3，7，31，127，8191，…… であり、n はこれら自身またはいくつかの積で表される数になります。

　よって、2≦n≦1000 の範囲では、3，7，31，127，3･7，3･31，3･127，7･31，7･127，3･7･31 、

　すなわち、3，7，31，127，21，93，381，217，889，651 の 10個で、

　小さい順に並べると、3，7，21，31，93，127，217，381，651，889 、最大のものは 889 です。

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