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[答890] 循環節の長さと末尾

ヤドカリ

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[答890] 循環節の長さと末尾


 899…991 は 8と1の間に9が 98個並んだ 100桁の自然数とし、

 10/899…991 を小数に直すと純循環小数になります。

 これらの純循環小数の循環節の長さは? また、末尾の3桁は?


[解答]

 分母は 899…991=9・(1099-1) で、 1099-1 は 9が 99個並ぶ自然数です。

 1099-1 の倍数で、9だけが並ぶ数として、

 (1099-1)(1+1099+10198+10297+10396+……) が考えられますが、

 1+1099+10198+10297+10396+…… が9の倍数となる最小の自然数を N とすれば、

 N=1+1099+10198+10297+10396+10495+10594+10693+10792 です。

 N/9 を 分母の 9・(1099-1) にかけると、9が 891個並ぶ 10891-1 になり、

 N/9 を 分子の 10 にかけると、(10793+10694+10595+10496+10397+10298+10199+10100+10)/9 です。

 ここで、1が n個並ぶ自然数を Rn とすれば、10n/9=Rn+1/9 だから、

 分子は R793+R694+R595+R496+R397+R298+R199+R100+1+9・1/9 、

 R793+R694+R595+R496+R397+R298+R199+R100+1 は、

 1,2,3,4,5,6,7,8 が 99個ずつ並んだ後に 9 が 1個だけつく数で、

 分子は これに 9・1/9=1 を加えて 末尾の3桁は 890 です。

 分子が循環していないので、循環節の長さは 891 です。

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Comments 12

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樹☆  
No title

わぁ~
すごい!とにかくすごい。。
太陽がいっぱい・・元気になりますね^^

ひとりしずか  
No title

一面に咲くときれいなんですよね~

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしは解答に比べたらいい加減ですが…^^;
899…991=9^2*111…111
(10/9^2)*(1/11…11)・・・11…11は1が99個
=0.123456790
10/81は循環節が9個なので...
全体では…循環節は9*99=900-9=891個
また、10/899…991=m
9.99…99=m*899…991 なので…
991*xの下3桁が999になればいいので…
991*889=880999
から…889のはず…
循環節を0を後半に持ってくるなら…88900…011…
なので…890になるから、こちらかと ^^
みたいなことで...Orz~

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
万年草の鼻でしょうか
画面いっぱいの黄色の花にパワーをもらえますね

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
マンネングサを毎年撮ってはいるのですが、
掲載の時期を逃してしまいます。
密集して咲くと見事なものです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
マンネングサやシバザクラはたくさん咲くと見ごたえがあります。
もちろん、ひとつひとつの花も可愛いです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
「10/81は循環節が9個なので...全体では…循環節は9*99=891個」
のところは違います。
たとえば、1/999 の循環節は3桁ですが、
1/(999*R99) の循環節は 297桁でなく、10989桁です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
マンネングサは混み合って咲くと一面の黄色、
パワーに満ちていますね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
そうなのかぁ...やっぱりいい加減でしたわけね ^^;;

111倍したら…1/(9*R99)だから…111*99=10989桁になると考えればいいのかなぁ…^^;
so…
9倍したら…1/(9*R99)だから…9*99=891桁ってな…?
難しいです Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、再度のコメントをありがとうございます。
一般に循環節の桁数は難しいです。
私にとっても実際に割り算をしないと分からない場合も多いです。

ニリンソウ  
No title

マンネングサがびっしりですね。
黄色い星のようです。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
マンネングサは生命力が強いので、
密集して咲くと見事です。