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[答891] 八面体数

ヤドカリ

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[答891] 八面体数


 図は 同じ大きさの球を 正方形状に並べたものを積み上げて 正八面体状にしたものです。

 図では1辺に 10個の球が並ぶように積み上げたもので、

 球の個数は 表面に 326個,内部に 344個 の 合計 670個ですが、

 表面にある球が 578個であれば、内部にある球の個数は?


[解答1]

 2以上の自然数nについて、1辺に n 個の球が並んでいるものとすれば、

 頂点に並ぶ球の個数は 6,頂点以外の辺上に並ぶ球の個数は 12(n-2),

 辺以外の面上に並ぶ球の個数は 8{1+2+……+(n-3)}=4(n-3)(n-2) だから、

 表面にある球の個数は、6+12(n-2)+4(n-3)(n-2)=2(2n2-4n+3) です。

 2(2n2-4n+3)=578 のとき、n2-2n-143=0 、(n-13)(n+11)=0 、n=13 、

 2(2n2-4n+3) について、

 n=3,5,7,9,11 のときのこの値は 18,66,146,258,402 だから、

 内部にある球の個数は 1+18+66+146+258+402=891 です。


[解答2]

 1辺に n 個の球が並んでいるときの 表面と内部の球の総数を f(n) とすれば、

  f(n)={12+22+……+n2}+{12+22+……+(n-1)2

  =n(n+1)(2n+1)/6+(n-1)n(2n-1)/6=n{(n+1)(2n+1)+(n-1)(2n-1)}/6

  =n(2n2+1)/3 です。

 2以上の自然数nについて、表面にある球の個数は、

 f(n)-f(n-2)={(n-1)2+n2}+{(n-2)2+(n-1)2

  =(n-2)2+2(n-1)2+n2=2(2n2-4n+3) です。

 2(2n2-4n+3)=578 のとき、n2-2n-143=0 、(n-13)(n+11)=0 、n=13 、

 内部にある球の個数は f(11)=11(2・112+1)/3=891 です。

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Comments 10

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます
黄菖蒲が奇麗に咲いていますね
もみじの里でも咲きましたが黄色の花には元気をもらえますね

ナイス☆彡

樹☆  
No title

おはようごxざいます。
今週は黄色い花で勝負ですか?

アキチャン  
No title

おはようございます。
ショウブ、しょうぶ、菖蒲、勝負!ですね(o^-^o)

ひとりしずか  
No title

キショウブ帰化植物なんですね・・

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
キショウブの花ももう少なくなりつつあり、慌ててアップしました。
花菖蒲に先んじて綺麗に咲いてくれます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
今週は黄色の花でショウブしようかな。
撮っている写真を点検してみます。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
どのようにリコメして良いものか?
花菖蒲はこれからたくさん見られるようになります。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
明治時代に帰化して自生している所も多いようです。
黄色系統の花菖蒲が珍しくて受け入れられたようですね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
[解答2]二気づけず^^;
図がその解答を暗示されてましたのにも関わらず…
解答1+2のミックスのような感じでした…^^;;
イメージは...内側の体積=ラッキョウの皮むきだなぁと^^…Orz...

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
[解答2]が簡潔だと思います。
ともあれ、工夫すれば解ける問題ですね。