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[答892] 四面体の分割

ヤドカリ

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[答892] 四面体の分割


 AB=14,AC=12,AD=4,AC⊥AD,AD⊥AB,AB⊥AC である四面体ABCDがあり、

 その内部に点Pがあって、4個の四面体 PABC,PACD,PADB,PBCD の体積が等しいとき、PA の長さは?


[解答1]

 いずれの面の重心についても、4つの頂点と結び、3個の四面体に分けると、

 3個の四面体の体積は等しくなります。

 よって、頂点と対面の重心を結ぶ線分を 3:1 に内分する点が P とすれば、

 4個の四面体 PABC,PACD,PADB,PBCD の体積が等しくなります。

 Pと△ACDの距離は AB/4=7/2 ,Pと△ADBの距離は AC/4=3 ,Pと△ABCの距離は AD/4=1 ,

 AP=√{(7/2)2+32+12}=(1/2)√(72+62+22)=(√89)/2 です。


[解答2]

 空間座標で A(0,0,0),B(14,0,0),C(0,12,0),D(0,0,4) と表せて、P(7/2,3,1) になります。

 AP=√{(7/2)2+32+12}=(1/2)√(72+62+22)=(√89)/2 です。

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Comments 13

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます!!
金糸梅の花が綺麗ですね
此の花を見ると梅雨入りも間近なのを感じますね♪
ナイス♪

ひとりしずか  
No title

キンシバイの花も咲いているのですね~
目につく花色!

風 草  
No title

黄色の花色が鮮やかです。
蕊も可愛くて綺麗ですね~

ナイス☆

ヤドカリ  
No title

> 2015/5/22(金) 午前 8:07の鍵コメ様
早速のコメントをありがとうございます。
この通りで良いと思います。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私もこの花を見ると、梅雨入りが近づいていると感じます。
姿は太陽のようですけど……。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
金糸梅の花もいつの間にか沢山咲いています。
季節がどんどん進んでいきます。

ヤドカリ  
No title

風草さん、コメントとナイス!をありがとうございます。
今週は黄色の花をアップしてきました。
金糸梅はその中でも黄色が目立ちます。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
そっか ^^;
意味がわかりましたぁ Orz
いつも、各面x高さ/3=四角錐の体積だから…高さの1/4だと理解してましたが、やどかりさんの理屈の方が重心の位置が頂点と底面の重心を結んだ線上にあることも言えてより自然ですね☆ Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
ご理解いただいたと解釈します。

ニリンソウ  
No title

そんな季節なんですね。
梅雨入りなんて言葉だけでも鬱陶しいなぁ

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
梅雨入りが近いのですが、そんな時もいろんな花が咲きますし、
特に紫陽花が美しく見える季節です。

樹☆  
No title

キンシバイでしたか・・
眩しい5月の空ですが・・
ときどき蒸し暑く感じる季節です。もうそろそろ・・

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
金糸梅があちこちで見られます。
この花を見るころは蒸し暑さを感じますね。