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[答86] 分数を小数にしたときの小数第1位

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答86] 分数を小数にしたときの小数第1位


 分子・分母ともに2桁以下の自然数であって値が1より小さい分数(真分数)は、約分できるものを含めて

 4851個あります。そのうち、小数に直したときに小数第1位が8または6になるものは何個?



[解答1]

 小数第1位がaで、分母がnの真分数の個数は、分子をkとすると、

 a/10 ≦ k/n < (a+1)/10、すなわち、na/10 ≦ k < n(a+1)/10 を満たす自然数kの個数、

 小数第1位がaで、分母が(n+10)の真分数の個数は、分子をkとすると、

 上記のnを(n+10)に書き換えて、(n+10)a/10 ≦ k < (n+10)(a+1)/10、

 すなわち、na/10+a ≦ k < n(a+1)/10+a+1 を満たす自然数kの個数になります。

 その範囲を比べると、分母が10増えると個数は1個増えることがわかります。

 小数第1位がaで、分母が 1~10 の真分数の個数をmとすると、分母が 1~100 の真分数の個数は、

 m+(m+10)+(m+20)+(m+30)+……+(m+90)=10m+450 個、

 このうち、分母が 100 の真分数の個数は、a≠0 の場合 10 個ずつあるから、

 分母が 1~99 の真分数の個数は、10m+440 個です。(a=0 の場合は 10m+441 個)

 小数第1位が8で、分母が 1~10 の真分数は、4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 8/9, 8/10 の6個、

 小数第1位が6で、分母が 1~10 の真分数は、2/3, 3/5, 4/6, 5/8, 6/9, 6/10 の6個、

 ですので、分母が 1~99 の真分数の個数は、いずれも 10・6+440=500 個、

 答は 1000 個となります。


[解答2] uch*n*anさんの解答を詳しく説明したものです。

 分数を b/a とすれば、8/10 ≦ b/a < 9/10 及び 6/10 ≦ b/a < 7/10 なので、

 座標平面上でこの条件を満たす格子点(a,b)の個数を、1≦a≦99 の範囲で数えます。

 y<(9/10)x の範囲にあるものは、(0,0),(100,90)を結ぶ直線より下にあるもので、

   1≦a≦99, 1≦b≦89 の格子点 99・89個のうち、y=(9/10)x 上にある 9 個を除いた半分で、

   (99・89-9)/2 個、
 
 y<(8/10)x の範囲にあるものは、(0,0),(100,80)を結ぶ直線より下にあるもので、

   1≦a≦99, 1≦b≦79 の格子点 99・79個のうち、y=(8/10)x 上にある 19 個を除いた半分で、

   (99・79-19)/2 個、

 よって、小数第1位が8のは、(99・89-9)/2-(99・79-19)/2=(99・89-99・79+10)/2=500 個、

 同様に、小数第1位が6のは、(99・69-9)/2-(99・59-19)/2=(99・69-99・59+10)/2=500 個、

 なので、合計 500+500=1000 個 です。

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Comments 10

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ヤドカリ  
No title

小数第1位と分数の個数については、
0:441個, 1:490個, 2:500個, 3:490個, 4:480個,
5:510個, 6:500個, 7:490個, 8:500個, 9:450個
です。

uch*n*an  
No title

[解答1]の方ですが,私は,n = 0 は,どのみち k が存在しないことに注目して,
小数第1位が a で,分母が 1 ~ 9 の真分数の個数を m とすると,
分母が 1 ~ 99 の真分数の個数は,
m + (m + 10) + (m + 20) + (m + 30) + …… + (m + 90) = 10m + 450 個
と考え,a = 6, 8 ともに,m = 5 なので,500 個ずつ,合計で 1000 個,としました。
この方が簡単だと思うのですが,どこかおかしいでしょうか?

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
そうか相乗!!
解法2がわかりやすいな♪
わたしの力では...そこまで思い至らず...^^;

0:441+9:450=891
1:490+8:500=990
2:500+7:490=990
3:490+6:500=990
4:480+5:510=990
どうして...0のときと9のときとの和だけが小さいんだろう...?
(100^2-100)/10=990
になるのは...なんとなくわかるんだけど...^^;

uch*n*an  
No title

うむ,私流の[解答1]は,a = 0 の場合は,例外的に,
(0 + 1 + 2 + ... + 8 + 9) * 10 - 1 * 9 = 450 - 9 = 441 個
になってしまいますね。
やどかりさんのは,そこらもうまくいくようです。
a = 0 の場合,分母が 100 の真分数は,1/100, 2.100, ..., 9/100 の 9 個だから。
一方,[解答2]は,同様にして,
(99 * 9 - 9)/2 = (98 * 9)/2 = 49 * 9 = 441 個
とできますね。

uch*n*an  
No title

crazy_tomboさん
0, 9 が少ない真の理由はいまひとつ分かりませんが,0 < 真分数 < 1 の条件から,
0 は 0 になる 99 個が,9 は 1 になる 99 個が,それぞれ除かれるので,
他より少なくなるのは,その意味では,明らかでしょう。
891 + 99 = 990 だし。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有り難う御座います。
分母がxのときの小数第1位がyになる真分数の個数を n(x,y) で表すと、
[解答1]は、n(x+10,y)=n(x,y)+1 を表しています。
n(1,y)=0 は納得できますが、n(0,y)=0 と定義したとしても、
n(10,0)=0 (y=1,2,3,4,5,6,7,8,9 のときは n(10,y)=1 でOK)ですので、
n(0,0)=-1 という感覚的に捉えにくいものが出てきます。
解答としてはこれに触れたくありませんでしたので、0~9 より 1~10 を区切りにしました。
この問題に関しては、y=6,8 ですので、関係はありませんが……。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有り難う御座います。
0,9が少ない理由ですが、
0/n, n/n を含めて数直線上の 0~1 の範囲に点をとっていくと、
0,1を端点として等間隔に点をとっていくことになります。
従って、必ずとる0,1の隣の 0<x<0.1, 0.9<x<1 に点をとる可能性は小さくなります。
次にとる可能性の高い0.5の隣の 0.4<x<0.5, 0.5<x<0.6 に点をとる可能性も小さいです。
ただ、小数第1位が5のものは、0.5が含まれて多くなります。

スモークマン  
No title

>uch*n*anさん&やどかりさんへ ^^
お二人のご指摘で何となく了解できました...^^; m(_ _)mγ

3桁で考えたら...(10^6-1000)/10=10^5-100=99900
と...99900-999=98901
になるんだろうなあ...

Σ(1~998)=999*998/2=(1000-1)(1000-2)/2
=(1000000-3000+2)/2
=500000-1500+1
=498501
=99900*4+98901

いっちゃん  
No title

こんばんは
綺麗なバラの花ですね^^。これも長居公園の花ですか?
ところで長居というのは先日マラソンが開催されたとこの近辺
ですか?ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
長居は昔、競馬場があった所だそうで、かなり広い公園です。
中に陸上競技場、サッカー場、植物園、自然史博物館があります。
マラソンも行われますし、サッカーのW杯も行われました。