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[答893] 共通弦と三角形

ヤドカリ

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[答893] 共通弦と三角形


 図のように、同じ大きさの円が2点 A,B で交わっていて、

 C,B,D が一直線上に並ぶように片方の円周上にC,他方の円周上にDをとります。

 CB=120 ,BD=24 ,cos∠BAC:cos∠BAD=7:11 のとき この円の半径 R は?


[解答]

 sin∠BAC:sin∠BAD=2Rsin∠BAC:2Rsin∠BAD=CB:BD=120:24=5:1 ですので、

 sin∠BAC=5s,sin∠BAD=s とします。

 また、cos∠BAC:cos∠BAD=7:11 ですので、cos∠BAC=7c,cos∠BAD=11c とします。

 sin2∠BAC+cos2∠BAC=25s2+49c2=1 、

 sin2∠BAD+cos2∠BAD=s2+121c2=1 、

 連立方程式を解けば、s2=3/124 ,c2=1/124 です。

 2Rsin∠BAD=BD=24 より R=12/sin∠BAD=12/s=12√(124/3)=(4√3)(2√31)=8√93 です。

 なお、C,D,B が一直線上にあることは解答で使っていませんが、

 AC=AD として CD上にBをとれば、△ABC,△ABD の外接円の半径は等しくなりますので、

 このような図形は存在します。


[参考]

 2R=AB/sin∠C=AB/sin∠D ,∠C+∠D<180゚ だから ∠C=∠D で、

 cos∠CAD=cos(∠BAC+∠BAD)=cos∠BACcos∠BAD-sin∠BACsin∠BAD

  =77c2-5s2=77/124-15/124=1/2 、

 ∠CAD=60゚ になり、△ACDは正三角形です。

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Comments 12

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樹☆  
No title

おはようございます
フアtリシズカ・・ひっそりと、清楚。でも凛としてる。。
美しい姿は女性ですね・・やはり。

ひとりしずか  
No title

ふたりじゃない4人しずか・・・(笑)
花には花弁も萼もなく、3個の雄しべが丸く子房を抱いているだけなんだそうですね~

さっちゃんこ  
No title

こんにちは♪
フタリシズカですネ!!
ひっそりと咲いている感じが良いですね!!
ナイス♪

アキチャン  
No title

こんにちわ。
はい、見習ってシズカにしています(o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
つまり、CBDが直線上になくとも、一般に同じように解けるってことですね ^^
それにしても...正弦定理は重宝ですねぇ ^^♪ Orz~

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
フタリシズカの花が見られるとなぜか嬉しいです。
美しい姿でたくさん咲いていました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
フタリシズカは2人だけのはあまり見当たりませんでした。
花のつくりまでは考えませんでしたが、変わった花ですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
やや暗い所にひっそりと咲いています。
見られる見られないに関わらず、健気に咲いていました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
「見習ってシズカに」の意味がよく分かりません。
アキチャンさんには、着物でお淑やかなイメージがありますので。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
正弦定理は三角形の辺の比が対角の sin の比になるだけのことですが、
便利な定理ですよね。

ニリンソウ  
No title

2本でも5本でもフタリシズカです。
その点ヒトリシズカはどれも一本の花! 不思議ですね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
フタリシズカは何本でもフタリシズカ、
ひっそりと咲いているのがいいですね。