FC2ブログ

Welcome to my blog

[答894] 最大面積の三角形

ヤドカリ

ヤドカリ



[答894] 最大面積の三角形


 半径が 6 の円と、その中心から 1 の距離にある点Aがあります。

 円周上に2点P,Qをとって、△APQの面積を最大にするとき、弦PQの長さは?


[解答1]

 PQの中点をMとします。△APQの面積が最大になるのは、線分AM上に中心があり AM⊥PQ のときです。

 AM=x (0<x<7),(△APQ)2=f(x) とすれば、

 (PQ/2)2=62-(x-1)2=-x2+2x+35 、

 f(x)=(PQ・AM/2)2=x2(-x2+2x+35)=-x4+2x3+35x2

 f'(x)=-4x3+6x2+70x=-2x(2x+7)(x-5) だから、

 0<x<7 において、f(x) は x=5 のときに最大になります。

 このとき、(PQ/2)2=-52+2・5+35=20 、PQ=2・2√5=4√5 です。


[解答2]

 一般に、xy平面上の双曲線 xy=pq の点(p,q)での接線は qx+py=2pq だから、

 座標軸と(2p,0),(0,2q) と交わり、接点はこの2点の中点になります。

 円の方程式を (x-1)2+y2=36 ,A(0,0) とすれば、

 △APQ が最大になるのは PQ⊥x軸 のときで、P(p,q),Q(p,-q) (1<p<7,0<q) とすれば、

 Pでの接線は (p-1)(x-1)+qy=36 で、△APQ=pq が最大になるとき、

 (2p,0)を通るから (p-1)(2p-1)=36 、(2p+7)(p-5)=0 、p=5 、

 (0,2q)を通るから -(p-1)+2q2=36 、q=2√5 、PQ=2q=4√5 です。

.

スポンサーサイト



Comments 14

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

並ぶ光景圧巻ですネ

ニリンソウ  
No title

アリウムでしたかね
小花の集まりで存在感ありですね~

ナイス

樹☆  
No title

こんにちは~
思わず・・ねぎ坊主といいたくなります。
紫の色がすてきです。

さっちゃんこ  
No title

今日は
アリウム・ギガンチウムが奇麗に咲いていますね
此方でも咲いていたのですが今年は撮る機会を逃してしまいました
球体状に集まった小さな花が可愛いですネ
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
全体としては大きな花ですね。
それが並ぶとやはり目を引きます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
小さな花が集まってこの形を形成するのは不思議です。
存在感のある花です。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
品種名はパープルジャイアント、
紫色はすぐ分かりますが、やはり大きいと捉えるのですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントをありがとうございます。
よくこれだけ行儀よく多くの花が集まったものです。
綺麗で存在感がありました。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
今年はあまり、いろいろと撮れないでいますが、やどかりさんのところで連日、いろいろなお花が拝見出来て楽しみです(o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
[解答2]でいいことがよくわかりません…^^;
and…そういうスマートな発想がどこから湧いてくるんでしょうかしらんってことがわたしにゃ謎でっす...^^☆ Orz~

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
今年もいろんな花を撮っています。
散歩がてらに撮っているのですが、健康維持に役立っていると思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
[解答2]はテクニックに走りすぎたかもしれません。
解くときにいろんな考え方をするのが醍醐味です。

樹☆  
No title

パープルジャイアント・・見たまんまですね^^

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、再度のコメントをありがとうございます。
常識的な品種名でしたね。