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[答895] 垂心と頂点の距離

ヤドカリ

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[答895] 垂心と頂点の距離


 鋭角三角形ABCとその垂心Hについて、HA=14 ,HB=3 ,HC=25 のとき、

 辺の比 BC:CA:AB=? また、△ABCの面積 S=?


[解答1]

 各頂点から対辺におろした垂線を AD,BE,CF とします。

 CF2=CB2-BF2=CA2-AF2 ,HF2=HB2-BF2=HA2-AH2 だから、

 CF2-HF2=CB2-HB2=CA2-HA2

 BC2+HA2=CA2+HB2 、同様に、CA2+HB2=AB2+HC2

 よって、BC2+HA2=CA2+HB2=AB2+HC2 です。

 この値を P とし、HA=a,HB=b,HC=c (a,b,c は異なる正の数)とすれば、

 BC2+a2=CA2+b2=AB2+c2=P 、

 BC2=P-a2 ,CA2=P-b2 ,AB2=P-c2 です。 

 次に、D,E は ABを直径とする円周上にあるので、方べきの定理より HA・HD=HB・HE 、

 同様に HB・HE=HC・HF なので、HA・HD=HB・HE=HC・HF=Q とおけば、HD=Q/a ,HE=Q/b ,HF=Q/c 、

 AD=a+Q/a ,BE=b+Q/b ,CF=c+Q/c です。

 4S2=BC2・AD2=(P-a2)(a+Q/a)2=(P-a2)(a2+2Q+Q2/a2)

  =a2P+2PQ+PQ2/a2-a4-2a2Q+Q2

 同様に、4S2=b2P+2PQ+PQ2/b2-b4-2b2Q+Q2

 a2P+2PQ+PQ2/a2-a4-2a2Q+Q2=b2P+2PQ+PQ2/b2-b4-2b2Q+Q2

 a2P+PQ2/a2-a4-2a2Q=b2P+PQ2/b2-b4-2b2Q 、

 (a2-b2)P+PQ2(1/a2-1/b2)-(a4-b4)-2(a2-b2)Q=0 、

 (a2-b2)で割って、P-PQ2/(a2b2)-(a2+b2)-2Q=0 、

 同様に、P-PQ2/(a2c2)-(a2+c2)-2Q=0 、

 辺々減じて、-(PQ2/a2)(1/b2-1/c2)-(b2-c2)=0 、

 (b2-c2)で割って、PQ2/(a2b2c2)-1=0 、PQ2=a2b2c2 です。

 これを P-PQ2/(a2b2)-(a2+b2)-2Q=0 に代入して、

 P-c2-(a2+b2)-2Q=0 、P=2Q+(a2+b2+c2) です。

 これを PQ2=a2b2c2 に代入して、 2Q3+(a2+b2+c2)Q2-a2b2c2=0 です。

 本問では、a=14,b=3,c=25 だから、P=2Q+830 ,2Q3+830Q2-1102500=0 、

 Q3+415Q2-551250=0 、(Q-35)(Q2+450Q+15750)=0 、Q>0 より、Q=35,P=900 です。

 よって、BC2=P-a2=704 ,CA2=P-b2=891 ,AB2=P-c2=275 、

 BC=8√11 ,CA=9√11 ,AB=5√11 、BC:CA:AB=8:9:5 です。 

 また、AD=a+Q/a=14+35/14=33/2 だから、S=(8√11)(33/2)/2=66√11 です。


[解答2]

 各頂点から対辺におろした垂線を AD,BE,CF とします。

 △BDA∽△BFC∽△HDC より ∠BAD+∠CHD=∠BAD+∠ABD=90゚ 、

 △CDA∽△CEB∽△HDB より ∠CAD+∠BHD=∠CAD+∠ACD=90゚ 、

 ∠BAD+∠CAD+∠CHD+∠BHD=180゚ 、∠BAC+∠BHC=180゚ 、

 よって、△ABC と △HBC の外接円の直径は等しく、これを d とします。

 同様に、△ABC と △HCA の外接円の直径も等しくなることに注意しておきます。

 △HBCの外接円の直径を BG とすれば、∠BGC+∠BHC=180゚ 、∠BGC=∠BAC 、

 90゚-∠CBG=90゚-∠ACF 、∠CBG=∠ACF=∠ACH 、

 △CBG,△ACH の外接円の半径が等しいので、CG=AH です。

 よって、BC2=d2-CG2=d2-AH2 です。

 また、トレミーの定理により、BC・HG=CH・BG+BH・CG 、BC2・HG2=(CH・BG+BH・CG)2

 (d2-AH2)(d2-BH2)=(CHd+BH・AH)2 、d4-(AH2+BH2+CH2)d2-2・AH・BH・CHd=0 、

 d3-(AH2+BH2+CH2)d-2・AH・BH・CH=0 です。

 本問では、AH=14,BH=3,CH=25 だから、d3-830d-2100=0 、(d-30)(d2+30d+70)=0 、d=30 です。

 BC2=d2-AH2=704 、BC=8√11 、

 同様に、CA2=d2-BH2=891 、CA=9√11 、AB2=d2-CH2=275 、AB=5√11 です。

 よって、BC:CA:AB=8:9:5 になり、

 また、2・d・△ABC=BC・CA・AB より、60△ABC=(8√11)(9√11)(5√11) 、△ABC=66√11 です。


[解答3]

 △ABC≡△LCB≡△MAC≡△NBA となるように 点L,M,N をとります。

 また、△ABCの外接円の半径をRとします。

 AH,BH,CH は MN,NL,LM の垂直二等分線になるので、H は △LMNの外心です。

 更に、△ABC∽△LMN で 相似比は 1:2 だから、△LMNの外接円の半径 HL=HM=HN=2R です。

 そして、∠MHA=(1/2)∠MHN=∠MLN=∠BAC だから、

 HA=HMcosA=2RcosA 、同様に、HB=2RcosB,HC=2RcosC になります。

 ここで、

 cos2A+cos2B+cos2C=cos2A+(1+cos2B)/2+(1+cos2C)/2=1+cos2A+(cos2B+cos2C)/2

  =1+cos2A+cos(B+C)cos(B-C)=1-cosAcos(π-A)-cos(π-B-C)cos(B-C)

  =1-cosAcos(B+C)-cosAcos(B-C)=1-cosA{cos(B+C)+cos(B-C)}=1-2cosAcosBcosC 、

 よって、1-(cos2A+cos2B+cos2C)-2cosAcosBcosC=0 、

 4R3-(4R2cos2A+4R2cos2B+4R2cos2C)R-8R3cosAcosBcosC=0 、

 4R3-(AH2+BH2+CH2)R-AH・BH・CH=0 です。

 本問では、HA=14 ,HB=3 ,HC=25 ですので、 4R3-830R-1050=0 、

 2R3-415R-525=0 、(R-15)(2R2+30R+35)=0 、R>0 だから、R=15 です。

 よって、HA=2RcosA=30cosA=14 ,HB=2RcosB=30cosB=3 ,HC=2RcosC=30cosC=25 、

 cosA=7/15 ,cosB=1/10 ,cosC=5/6 、sinA=(4√11)/15 ,sinB=(3√11)/10 ,sinC=(√11)/6 、

 BC=2RsinA=8√11 ,CA=2RsinB=9√11 ,AB=2RsinC=5√11 、BC:CA:AB=8:9:5 です。 

 △ABC=(1/2)・AB・AC・sinA=(1/2)(5√11)(9√11)(4√11)/15=66√11 です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
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マツバギク白はじめて見ました!
目にしみるような~

樹☆  
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おはようございます。
白い色は清楚な感じでほんとにすてき。
やはり・・白色は美の原点だと
思えるほどかわいい。カメラ力にナイス

アキチャン  
No title

おはようございます。
白色はお日さまが当たると銀色に光ってとても綺麗ですよね。。
(o^-^o)

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
真っ白のマツバギク
キラキラ輝く花弁が清々しくて素晴らしいですね!!
ナイス♪

スモークマン  
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グーテンターク ^^
[解答3]もどきでしたが...わたしのは手計算じゃできず ^^;
PCの力任せにRを求めちゃいましたぁ…Orz…
[解答2]がわかりやすいですね☆

ニリンソウ  
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いろんな色が咲き乱れる時期に白い松葉菊が印象的ですね
今日も夏日です。
雨がありませんね~山の花達もぐったりのようでした。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
此方ではマツバギクの白も結構見られます。
マツバギクの花弁の輝きがいいですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
白い花のお好きな樹ちゃんのコメントらしいですね。
カメラが上手く撮ってくれました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
マツバギクの花弁の輝きはいいですね。
あるのかどうか知りませんが、黄色や青もあればいいですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントをありがとうございます。
白いマツバギクも美しく感じます。
花弁が中心から放射状についているのもいいですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
計算は面倒だと思いますが、
手計算でできるように数値を設定しています。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
こちらは夏日と真夏日との繰り返し、
植物にとっては雨も必要ですね。