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[答896] 中線に垂直な辺でできる三角形の面積

ヤドカリ

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[答896] 中線に垂直な辺でできる三角形の面積


 △ABCの BC,CA,AB の中点を L,M,N とします。

 Aを通り AL に垂直な直線,Bを通り BM に垂直な直線,Cを通り CN に垂直な直線でできる三角形を

 図のように △PQR とします。

 AL=6√10,BM=6√5,CN=6√13 のとき、△PQRの面積は?


[解答1]

 A(-4,12),B(-8,-4),C(12,-8) とすれば、L(2,-6),M(4,2),N(-6,4) 、

 AL=6√10,BM=6√5,CN=6√13 を満たし、△ABCの重心は (0,0) です。

 直線QRは x-3y+40=0 ,直線RPは 2x+y+20=0 ,直線PQは 3x-2y-52=0 になり、

 交点は P(12/7,-164/7) ,Q(236/7,172/7) ,R(-100/7,60/7) です。

 P(12/7,-164/7)を(0,0) に平行移動すると、他の2点は(32,48),(-16,32)だから、

 面積は |32・32+48・16|/2=896 になります。


[解答2]

 △ABCの重心を G とすれば、GA=4√10,GB=4√5,GC=4√13 になります。

 2△GBC=2△GCA=2△GAB だから GB・GC・sin∠BGC=GC・GA・sin∠CGA=GA・GB・sin∠AGB 、

 (sin∠BGC)/GA=(sin∠CGA)/GB=(sin∠AGB)/GC 、(sin∠P)/GA=(sin∠Q)/GB=(sin∠R)/GC 、

 GA:GB:GC=sin∠P:sin∠Q:sin∠R=QR:RP:RQ 、QR:RP:RQ=√10:√5:√13 です。

 QR=k√10,RP=k√5,PQ=k√13 とすれば、

 右下図の方眼の1辺を k として、△PQR=7k2/2 になり、

 また、△PQR=QR・AG/2+RP・BG/2+PQ・CG/2=20k+10k+26k=56k だから、

 7k2/2=56k 、k=16 で、△PQR=56・16=896 です。


[解答3]

 △ABCの重心を G とすれば、GA=4√10,GB=4√5,GC=4√13 になります。

 3辺が 4√10,4√5,4√13 である三角形を1辺が 4 の方眼に描けば、

 面積は 12・12-4・12/2-8・4/2-8・12/2=56 であることが分かります。

 次に、△ABCを 90゚ 回転させると、GA//QR,GB//RP,GC//PQ になり、

 GA,GB,GC を平行移動して三角形を作ると、この三角形と△PQRは相似になります。

 QR=kGA,RP=kGB,PQ=kGC とすれば、QR=4k√10,RP=4k√5,PQ=4k√13,△PQR=56k2 です。

 △PQR=△GQR+△GRP+△GPQ=QR・GA/2+RP・GB/2+PQ・GC/2=kGA2+kGB2+kGC2

  =80k+40k+104k=224k にもなり、

 56k2=224k 、k=4 で、△PQR=224・4=896 です。


[解答4]

 △ABCの重心を G とすれば、GA=4√10,GB=4√5,GC=4√13 になります。

 下図のように、△ABCを GA,GB,GC で切断し、1辺の長さが GA,GB,GC の正方形を挟むと、

 GA,GB,GC の長さを3辺とする(橙色の)三角形が中央にできます。

 この三角形を1辺が 4 の方眼に描けば、

 面積は 12・12-4・12/2-8・4/2-8・12/2=56 であることが分かります。

 面積を求める三角形は この三角形に相似で、相似比を k:1 とすれば、面積は 56k2 になり、

 また、正方形3個を含めた三角形も相似で、相似比は (k+1):1 、面積は 56(k+1)2 です。

 56(k+1)2=56k2+56+(4√10)2+(4√5)2+(4√13)2

 112k=16(10+5+13) 、k=4 、求める面積は 56k2=56・16=896 です。

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Comments 12

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樹☆  
No title

おはようございます
ホタルブクロですか。。可愛いです。
今月もよろしくお願いします。

ひとりしずか  
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ホタルブクロ
しもふり状の花びら、色がいいですね~

さっちゃんこ  
No title

こんにちは♪
ピンクのホタル袋が可愛いですね!!
もみじの里のは白しかないです!!
ナイス♪

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントをありがとうございます。
ホタルブクロはよく見られる花ですが、ね。
こちらでこの色のホタルブクロを自生しているのを見たことがありません。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この花弁の形は特長ありますね。
この花も梅雨前の今の季節に見ておきたい花です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
当方でもこの色のホタルブクロを自生しているのを見たことがありません。
白のホタルブクロの方がしっくりきます。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
[解答4]が面白いです☆
[解答3]はすぐわからず…^^;
わたしゃ…芽茶...回りくどいことをして求めてたこと判明…^^;;
(スチュアート+トレミー+ピタゴラス...上手く尻取りにでもできればまだしも…^^)だったりしました…Orz~

たけちゃん  
No title

もともと[700]を連想していたのですが,
[解答4]を見てその感が強まりました.

[解答1]の座標は,私にはすぐには浮かばない気がしますが,
実はそれに即して図が描かれていたようにも見えます.

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
いろいろな考え方があると思いますが、
いずれにしても計算はやや面倒ですね。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントをありがとうございます。
長さの設定は、方眼のように、三角形の面積を求めやすいように作りました。
1年以上のときを経て、[700]やルモワーヌ点をすっかり忘れていたのですが、
貴殿の解答のときの指摘で蘇えりました。
脳裏には同じような発想が残っているものです。
とりあえず、逆の形での出題になったのはラッキーでした。

ニリンソウ  
No title

紫でいいですね~白ばっかりです。
高山に行くと紫みれますね。

蛍、夏、イメージします。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
紫色のはこりらでは自生していないと思います。
やはり、白がしっくりします。