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[答898] 四角形の対角線の長さ

ヤドカリ

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[答898] 四角形の対角線の長さ


 AB=BC,∠B=∠D=90゚,(AB+AD):(BC+CD)=8:5 で、面積が 32 の四角形ABCDがあります。

 この四角形の2本の対角線 AC,BD の長さは?


[解答1]

 AB=BC=AC/√2 で、∠CAD=θ とすれば AD=ACcosθ ,CD=ACsinθ になります。

 (AB+AD):(BC+CD)=8:5 より 5AB+5AD=8BC+8CD 、5AC/√2+5ACcosθ=8AC/√2+8ACsinθ 、

 5cosθ=8sinθ+3/√2 、25cos2θ=64sin2θ+(24√2)sinθ+9/2 、

 25(1-sin2θ)=64sin2θ+(24√2)sinθ+9/2 、

 89sin2θ+(24√2)sinθ-41/2=0 、(89sinθ-41/√2)(sinθ+1/√2)=0 、

 sinθ=41/(89√2) 、5cosθ=8sinθ+3/√2=595/(89√2) 、cosθ=119/(89√2) 、

 よって、sinθ+cosθ=160/(89√2)=(80√2)/89 です。

 △ABD+△ACD=32 より (AC/√2)2/2+(ACcosθ)(ACsinθ)/2=32 、AC2(1+2sinθcosθ)=128 、

 AC(cosθ+sinθ)=8√2 、AC・(80√2)/89=8√2 、AC=89/10=8.9 です。

 次に、四角形ABCDは円に内接するので トレミーの定理により、

 AC・BD=CD・AB+AD・BC 、AC・BD=(ACsinθ)・AC/√2+(ACcosθ)・AC/√2 、

 BD=(sinθ+cosθ)・AC/√2={(80√2)/89}(89/10)/√2=8 です。


[解答2]

 座標平面上で、A(-a,0),B(0,-a),C(a,0),D(x,y) (a>0,x>0,y>0) とすれば、

 Dは中心が原点で半径がaの円周上にあるので、x2+y2=a2 です。

 AD2=(x+a)2+y2=x2+2ax+a2+y2=2a2+2ax 、

 CD2=(x-a)2+y2=x2-2ax+a2+y2=2a2-2ax になり、

 (AB+AD):(BC+CD)=8:5 より 5AB+5AD=8BC+8CD 、

 5a√2+5AD=8a√2+8CD 、5AD=3a√2+8CD 、25AD2=18a2+48aCD√2+64CD2

 48aCD√2=25AD2-64CD2-18a2=25(2a2+2ax)-64(2a2-2ax)-18a2

 48aCD√2=-96a2+178ax 、CD=-a√2+89x/(24√2) 、

 CD2=2a2-89ax/12+7921x2/1152=2a2-2ax 、

 -89a/12+7921x/1152=-2a 、7921x/1152=65a/12 、x=6240a/7921 、

 y2=a2-x2=(a+x)(a-x)=(14161a/7921)(1681a/7921) 、y=4879a/7921 です。

 △ABC+△ACD=a2+ay=32 だから、12800a2/7921=32 、400a2/7921=1 、20a/89=1 、

 a=89/20 になり、AC=2a=89/10=8.9 、

 BD2=x2+(y+a)2=x2+y2+2ay+a2=2(a2+ay)=64 、BD=8 です。


[解答3]

 この四角形4個で1辺が AD+CD の正方形ができるので、(AD+CD)2=4・32 、AD+CD=8√2 です。

 また、BDはこの正方形の対角線の 1/2 だから、BD=(8√2)(√2)/2=8 です。

 次に、(AB+AD):(BC+CD)=8:5 より AB+AD=8k ,BC+CD=5k とすれば、

 AB=BC=AC/√2 だから AD=8k-AC/√2 ,CD=5k-AC/√2 ,AD+CD=13k-AC√2 です。

 AD2+CD2=AC2 だから、(8k-AC/√2)2+(5k-AC/√2)2=AC2

 89k2=(13√2)kAC 、89k/√2=13AC です。

 AD+CD=13k-AC√2=8√2 だから 13k/√2-AC=8 、13・89k/√2-89AC=8・89 、AC=89/10 です。

 まとめると、AC=89/10=8.9 ,BD=8 です。

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Comments 10

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます
花弁は金鈴樹などに似ていますが蔓性の花のようですね
ビタミンカラーで元気をもらえますね
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
写真の花はネコノツメ(トラノツメ)で、ノウゼンカズラ属です。
黄色の花が元気に咲いていました。

ひとりしずか  
No title

アリアケカズラ・シマハスノカズラなど似た花、検索でありましたが・・・
緑の葉に黄色い花びらがきれい!

ニリンソウ  
No title

あら! 黄色はカボチャ色ですね。
でも違った....ノウゼンカズラの仲間でしたか。
お初です。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この手の花は似たものが多くて難しいですね。
ネコノツメという名前が面白いです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
言われてみればノウゼンカズラですよね。
黄色が目立つ花でした。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
[解答3]は...ここでは常用の手筋だったのに…^^
気づけませんで…四苦八苦…^^;…
盲点はなかなか眼科でもいかんともし難い…?…Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
[解答3]に気づけなかったのが悔しそうですね。
眼科の名医でも無理でしょうか?(笑)

樹☆  
No title

ネコノツメ?
どこが猫?とツッコみたくなります。笑
黄色はよく映えていいですね^^

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
猫の爪をよく見ておられる樹ちゃんならではのコメントですね。
虎の爪の名前なら、多くの人には分からないでしょうね。