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[答899] 逆順の数との差

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答899] 逆順の数との差


 3桁の自然数 n について、n の3個の数字を逆に並べた数を n から引いた値を f(n) とします。

 例えば f(899)=899-998=-99 ,f(900)=900-009=891 です。

 このとき、f(100)+f(101)+……+f(n)=0 を満たす3桁の自然数 n は?


[解答]

 S(n)=f(100)+f(101)+……+f(n) とおきます。

 nの百の位を a,十の位を b,一の位を c とすれば、n=100a+10b+c で、

 f(n)=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c) です。

 100 から n までの百の位の和は、

 100{1+2+……+(a-1)}+(10b+c+1)a=100・(a-1)a/2+(10b+c+1)a=a(50a+10b+c-49) で、

 100 から n までの一の位の和は、

 (1+2+……+9)(10a+b-10)+(1+2+……+c)=45(10a+b-10)+c(c+1)/2 であり、

 S(100a+10b+c)=99{a(50a+10b+c-49)-45(10a+b-10)-c(c+1)/2}

 (2/99)S(100a+10b+c)=2a(50a+10b+c-49)-90(10a+b-10)-c(c+1)

  =100a2+2ac-c2-998a-c+900+20ab-90b になります。

 ここで、c<a のとき f(n)>0 ,c=a のとき f(n)=0 ,c>a のとき f(n)<0 だから、

 S(100a+10b) から S(100a+10b+9) における最大値は S(100a+10b+a-1)=S(100a+10b+a) 、

 (2/99)S(100a+10b+a)=101a2-999a+900+20ab-90b=100(a-1)(a-9)+a(a+1)+10b(2a-9)

 S(100a+10b+a)≧0 になる(a,b)を求めると、

 a=1 のとき、2-70b≧0 、b=0 、

 a=2,3,……,7 のとき、100(a-1)(a-9)≦-700,a(a+1)≦56,10b(2a-9)≦50b≦450 、

  S(100a+10b+a)≦-194 で、該当する(a,b)は存在しない、

 a=8 のとき、-700+72+70b≧0 、b=9 、

 a=9 のとき、常に S(100a+10b+a)≧0 になります。

 次に、S(100a+10b+c)=0 すなわち、

 100a2+2ac-c2-998a-c+900+20ab-90b=0 を満たす c の値を求めます。

 (a,b)=(1,0) のとき、 100+2c-c2-998-c+900=0 、c2-c-2=0 、c=2 、

 (a,b)=(8,9) のとき、 6400+16c-c2-7984-c+900+1440-810=0 、c2-15c+54=0 、c=6,9 、

 よって、S(102)=S(896)=S(899)=0 となります。

 更に、S(900)=S(899)+f(900)>0 であり、n≧901 のとき f(n)≧0 だから、S(n)>0 になります。

 結局、S(n)=0 を満たす n は、n=102,896,899 です。

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Comments 14

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます
スイカズラのようですが角度が面白いですネ
蕊の感じがとても面白く撮れていますね
ナイス☆彡

ひとりしずか  
No title

花の重なり具合をうまくとらえていておもしろい!

樹☆  
No title

おはようございます。
スイカズラですか?
白から黄色に変化してきてます。
お花も形も面白いですね。


今週もよろしくです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
スイカズラも最盛期を過ぎ、僅かになり、慌ててアップしました。
よく見られる花ですが、撮りにくいので沢山撮っての1枚です。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
沢山咲きますので、ある程度、見やすいのを撮りました。
重なりすぎると花を区別できませんね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントをありがとうございます。
白から黄色へと変化して混ざっているときが美しいです。
その状態を見つけて撮りました。

たけちゃん  
No title

100から899までの整数nに対し,999-nは,各桁を9から引いたものとなり,
f(999-n)=-f(n) […(*)]となることがわかります.
これより,f(100)+f(101)+…+f(899)=0 […(**)]が成り立ち,n=899は解です.
一方,f(900)>0,n≧901のときf(n)≧0より,900以上のnは解になりません.

また,条件を「100以上n以下の整数で(一の位の平均)=(百の位の平均)」
と考えれば,
100≦n<500のとき,百の位の平均は5/2以下であり,
106≦n<500のとき,一の位の平均は5/2より大きいので,
100≦n<500で適するnは105以下に限られ,順次調べてn=102だけが解.

500≦n≦898のときは,
f(100)+f(101)+…+f(n)=-(f(899)+f(898)+…+f(n+1)) [(**)より]
=f(100)+f(101)+…+f(998-n) [(*)より]
であり,100≦998-n<500だから,998-n=102,つまりn=896だけが解ですね.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントをありがとうございます。
f(n)+f(999-n)=0 に注意すれば、
n=899 が解であることはすぐに分かりますね。
このことから n=899 だけを解答として送ってこられた方もいました。
また、途中の n に関しても貴殿の書かれている通りですね。
ただ説明となると却って面倒な気がして私は避けたのですが、
貴殿のように説明すると理解しやすいですね。

ニリンソウ  
No title

スイカズラ金貨になりつつですね。
終える頃にはみすぼらしくなるのでこの程度が
いいようです。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
実はみすぼらしくなった花も多く、慌ててアップしました。
黄色へ変化しても、最初は美しいですね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
こういう問題は好きなのに…気づけませんでしたぁ ^^;
この問題899から苦難のイバラの道の九十九折が始まってます…^^;;
解けそで解けないのが何とも面映く快感だったりはするのですが…^^…
Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
899の99からつづらおりの連想は流石ですね。
九十九折をヘアピンカーブと書かれたら分かりませんでした。

uch*n*an  
No title

私の解法は,表現は拙いものの,たけちゃんさんと似た考え方でした。
実際に少し調べてみれば対称性なども見えてくるので,個人的には楽な問題でしたが,
うっかりすると 896 辺りを見落としそうな気がします。
私もきちんとした説明は[解答]のようにするのだろうなと思いましたが,面倒になってしまって (^^;
答えだけでいい数オリ予選のやや易しめ程度の問題によさそうです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントをありがとうございます。
> 答えだけでいい数オリ予選のやや易しめ程度の問題によさそうです。
私も答だけの問題でいいと思いますが、
数オリと違って、プログラムや表計算ソフトでもできてしまうので、
途中の考え方が必要になりますね。