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[答900] 奇数または偶数の和

ヤドカリ

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[答900] 奇数または偶数の和


 自然数を連続する2個以上の正の偶数または連続する2個以上の正の奇数の和で表します。

 ただし、12=5+7=2+4+6 のように、和を表す先頭の数は末尾の数より小さいものとします。

 12 は 2種類の表し方ができますが、1000以下で ちょうど 13種類の表し方ができる自然数は?


[解答]

 求める自然数を n とし、まず、0や負の数を含め、整数の範囲で考えます。

 連続する偶数または奇数の平均を a,その個数を b とすれば、n=ab です。

 また、a は、(先頭の数+末尾の数)/2 で表されるので、自然数になります。

 末尾の数は a+(b-1)=a+b-1 ,先頭の数は a-(b-1)=a-b+1 になりますが、

 先頭の数 a-b+1≦0 になる場合、すなわち、a<b の場合は、

 a-b+1 から -(a-b+1) までを削除すれば、和は不変で、

 新たな先頭の数は -(a-b+1)+2=-a+b+1>0 になります。

 平均と個数を逆にして、平均を b,個数を a とすれば、末尾は a+b-1 ,先頭は b-a+1 ですので、

 自然数の範囲で考えれば、平均と個数を入れ換えても和の表し方は一致します。

 従って、連続する偶数または奇数の個数 b は、√n 以下で 1 以外の n の約数になり、

 n の約数の個数を f(n) とすれば、和の表し方は、

 n が平方数でないときは (f(n)-2)/2 通り、n が平方数のときは (f(n)-1)/2 通りです。

 よって、f(n)=28 または f(n)=27 を満たす 1000以下の自然数 n を求めることになります。

 f(n)=28 を満たす n は、28=22・7 だから、p,q,r を素数として、 p27,p13q,p6q3,p6qr の形で表され、

 f(n)=27 を満たす n は、27=33 だから、p,q,r を素数として、 p26,p8q2,p2q2r2 の形で表されます。

 このうち、n≦1000 となるのは、22・32・52=900,26・3・5=960 です。

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Comments 13

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ひとりしずか  
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この花が咲く季節になったのですね~
現在の気温22.5℃、今日は暑くなりそうです

樹☆  
No title

おはようございます
今朝は雨が上がった樹地方です。
もう合歓木の花が咲いてるのですね。
わたしも見にゆこう!

アキチャン  
No title

おはようございます。
好きなお花です(o^-^o)

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
合歓の花が優しいですネ
この花を見ると季節はもう夏なんだなと思いますね
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
雨が上がってこちらも暑い1日でした。
合歓の花には癒されますね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
こちらも雨が上がって良い天気でした。
ぜひ、本物の合歓の花を見てくださいね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私にとっても好きな花です。
全体的にみると淡く色づいている感じで、それがいいですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この花を見ると私は梅雨の晴れ間を感じます。
仰るように、やがて真夏が近いですね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
熟読玩味ぃ…^^;
わたしにゃ難問ん~Orz~
2個の数から3個、4個、…,14個に増やせるものを考えてましたが…
無為/無理でしたぁ ^^;;...

ニリンソウ  
No title

気にして木を眺めたのですがこの辺ではまだのようです。
優しい気持ちになりますね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
難問でしたか。
結局、約数の個数と関係ありありでした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
合歓の花を見ると確かに優しい気持ちになれますね。
そちらももうすぐ咲くのでしょう。

ヤドカリ  
No title

> 2015/6/11(木) 午後 8:58の鍵コメ様
鍵コメントをありがとうございます。
再開を期待しています。
そちらの風景をまた見せてくださいね。