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[答902] 三角形の周囲の長さ

ヤドカリ

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[答902] 三角形の周囲の長さ


 BC=100,CA=110,AB=90 の△ABCの垂心をHとします。

 また、点Pから直線AH,BH,CHにおろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとします。

 PH=99/2 のとき、△DEFの周囲の長さ EF+FD+DE=?


[解答]

 まず、△ABCの外接円の直径を求めておきます。

 cos∠ABC=(902+1002-1102)/(2・90・100)=1/3 、

 sin∠ABC=√{1-(1/3)2}=(2√2)/3 、

 従って、直径は AC/sin∠ABC=110/{(2√2)/3}=165/√2 です。

 次に、PHを直径とする円を描くと、D,E,Fはこの円周上にあります。

 AHを直径とする円も考慮すると ∠BAC=∠EHF=∠EDF 、

 CHを直径とする円も考慮すると ∠ACB=∠DHE=∠DFE だから、△ABC∽△DEF になって、

 その相似比は 外接円の直径の比であり 三角形の周囲の長さの比なので、

 165/√2:99/2=(100+110+90):(EF+FD+DE) 、5/√2:3/2=300:(EF+FD+DE) 、

 5(EF+FD+DE)/√2=450 、EF+FD+DE=90√2 になります。

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Comments 14

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ひとりしずか  
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初めて見るような~
赤が迫力!

樹☆  
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おはようございます
アメリカディゴ・・まっかなお花が鮮やかです。
先日、バスの中から見たばかりです。

アキチャン  
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こんにちわ。
このお花、昨日見ておりました。カメラを持って行かなかったので、撮れませんでした。次回にと思っていましたが、撮りにいけるかしら(o^-^o)

tsuyoshik1942  
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「△DEF∽△ABC」思い描けど、それを示せず、時を要しました。
△ABCの直径の算出は、「abc/4R=ヘロンの面積」が真っ先に浮かびました。

さっちゃんこ  
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こんにちは
アメリカデイゴ 今満開ですネ
此方でも雨の中雨の雫をためたレイゴの花がとても奇麗ですよ

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
アメリカデイゴです。
南国の花ですので、赤が印象的です。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
バスの中からアメリカデイゴを見られたということですが、
どこかに旅行されたのでしょうか?
それとも、路線バスでちょっとお出かけ?

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
毎日、記事を書かれていた頃のアキチャンさんなら、
カメラをいつも携帯されていたのでは?

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
「△DEF∽△ABC」が成り立つことは何となく分かります。
その証明となると、ちょっとした頭の体操ですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
アメリカデイゴの赤も写真にすると色が飛びやすいです。
雨の日に濡れた姿を撮影するのもいいでしょうね。

ニリンソウ  
No title

これはこの辺ではないのかな!
毎年ブログで見せてもらうだけです。
真っ赤なんですね~木でしょうか

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
デイゴの樹はそれほど高くないので写真は撮りやすいです。
真赤な花が南国を思わせます。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
最初は、難儀な問題が続くものね~~~...と思案してました…^^;
tsuyoshik1942さんご指摘の事実にフワァ~っと気づけたもので ^^
あとは一気呵成に繋がりました♪
こういう美しい関係を次々と発見/発掘できる頭脳ってどうなってるのと
唖然・呆然自失の境地を体感させられてばかりです☆ Orz~

ところで、お時間のあるときに…
正弦定理とヘロンの公式の関連の解説を希望でっす~m(_ _)m~
たいてい、4RS=abc で計算してます…but...
正弦定理で、sinA/a=2R からでも求められるわけですが…
すぐピンと来ないもので…^^;

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
「正弦定理とヘロンの公式の関連」といのは何を希望されているのか不明ですが、
4RS=abc を三角比なしで証明しているのが次の記事です。
http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/5718559.html