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[答903] 立体の表面積

ヤドカリ

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[答903] 立体の表面積


 図は辺の長さが 1,n,n の正四角柱を n=1,2,3,4 の4個を積み上げてできる立体で、その

 表面積は 72 です。では、n=1,2,3,……,150 の 150個を積み上げてできる立体の表面積は?


[解答1]

 n個を積み上げてできる立体について、上から k個目の正四角柱の表面積は 2k2+4k で、

 その総和は 2n(n+1)(2n+1)/6+4n(n+1)/2=n(n+1){(2n+1)+6}/3=n(n+1)(2n+7)/3 です。

 重なって隠れる部分の面積は 2{12+22+32+……+(n-1)2}=2(n-1)n(2n-1)/6 です。

 従って、表面積は n(n+1)(2n+7)/3-(n-1)n(2n-1)/3=2n(2n+1) です。

 本問では n=150 だから 2・150・(2・150+1)=90300 です。


[解答2]

 n個を積み上げてできる立体について、表面積は6方向から見た図の面積の和になるので、

 2n2+4(1+2+3+……+n)=2n2+4n(n+1)/2=2n(2n+1) です。

 本問では n=150 だから 2・150・(2・150+1)=90300 です。


[参考]

 この立体の体積は 12+22+32+……+n2 ですが、

 合同な立体を3個(水色・ピンク・黄色)合わせ、

 それを2個分重ねると 3辺が n,n+1,2n+1 の直方体ができることにより、

 12+22+32+……+n2=n(n+1)(2n+1)/6 が分かります。

 ただ、体積の方は公式そのもので、問題にはできませんでした。

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Comments 16

There are no comments yet.
さっちゃんこ  
No title

おはようございます
小判草でしょうか
見方によってはセミの抜け殻にも似ていますね

ナイス☆彡

ニリンソウ  
No title

黄金色になり、キラキラ
大判小判が揺れるようですね。

ナイス

樹☆  
No title

おはようございます。

ちょろには必要ないみたいです。

今日の予報では「晴れ」でしたが曇ってます。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

小判草なんですか?
もう秋を思わせる色に変身なんですねー

そちらも梅雨に入りましたか?
ポチ☆

アキチャン  
No title

こんにちわ。
今年は撮っていないです、少し焦ります(笑)
(o^-^o)

tsuyoshik1942  
No title

「解答2」でした。
ここのところでは、すんなり解けた唯一の問題です。
含蓄(参考)は少しも頭をよぎりませんでした。

スモークマン  
No title

>グーテンアーベント ^^
たしかに、今回はほっと問でグラッチェでっす ^^♪
[参考]記事は...わたしの頭の中では組み立てられましぇん…^^;
n^3だから...立体に還元できるわけなのねぇ☆
but...たぶん忘れてしまいそう…^^;;...Orz~

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、コバンソウです。
コバンソウもこの色になると、セミの抜け殻のようですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
緑色の若いコバンソウより、この色になると貫禄が出ます。
梅雨時にこの色になる植物はあまり記憶にありません。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
「ちょろに小判」ですか。
またたびを見つけたら撮ってアップしないといけませんね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
初夏に「麦秋」という言葉があるように、
コバンソウも秋のような色です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
コバンソウももう終わりに近づいています。
来年はよったりした気持ちで撮ってください。
それまでに、他の沢山の植物の姿を見られます。

ひとりしずか  
No title

成熟しきっていますね~

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
[参考]をなんとか活かしたかったのですが、
3乗の和の公式そのものになってしまいます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
立体の組み立ては頭の中では難しいものです。
私も図を描いてみて形にしました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
もう後は形がくずれるしかないような時に撮りました。
それにしても、コバンソウって面白い植物ですね。