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[答904] 魔方陣の問題になる確率

ヤドカリ

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[答904] 魔方陣の問題になる確率


 3×3の9マスから無作為に選んだ3マスに 9,0,4 を記入するとき、魔方陣の問題になる確率は?

 「魔方陣の問題になる」というのは、残りの6マスに数を記入して 縦・横・斜めにまっすぐ並んだ

 3つのマスの数の和がすべて等しくなるようにする方法が1通りのみであることを意味します。

 例えば、右図のように黒で 9,0,4 を記入すれば、赤で記入したような解に決まります。

 なお、魔方陣の問題を解くとき、整数以外の数を記入してもよいものとします。


[解答1]

 中左図のように、9マスの数を a,b,c,d,e,f,g,h,i 、3つの数の和(定和)を S とします。

 (a+e+i)+(b+e+h)+(c+e+g)=3S ,(a+b+c)+(g+h+i)=2S を 辺々減じて、3e=S です。

 d+e+f=3e より f=2e-d 、c+f+i=3e より c+2e-d+i=3e 、i=e-c+d 、

 c+e+g=3e より g=2e-c 、g+h+i=3e より 2e-c+h+e-c+d=3e 、h=2c-d 、

 b+e+h=3e より b+e+2c-d=3e 、b=2e-2c+d 、

 a+e+i=3e より a+e+e-c+d=3e 、a=e+c-d です。

 このとき、a+b+c=e+c-d+2e-2c+d+c=3e ,a+d+g=e+c-d+d+2e-c=3e が成り立ち、

 縦・横・斜めのどの3数の和も 3e になります。

 結局、3×3の魔方陣には次の性質があります。

 (A) 中央のマスの数の3倍が 3つの数の定和になる。

 (B) 中央のマスの数は 中央に関して点対称の位置にある2つのマスの数の相加平均になる。

 (C) 隅のマスの数は そのケイマの位置にある2つのマスの数の相加平均になる。

 従って、中央黄色図のような「中央を含む1直線上の3数」「隅とケイマの位置の2数」の8通りは

 9,0,4 をどのように記入しても3×3の魔方陣になりません。

 この8通り以外の3数が与えられると、3×3の魔方陣は完成します。

 そのパターンは 対称移動・回転移動して同一視できるものを除くと、

 ●で表された所が与えられた場合の 下図のような 13通りです。

 これらは、(A)(B)(C)の性質を使って、直ちにA,B,Cで表された所の数が分かります。

 最後の2パターンは、水色の2マスの和とピンクの2マスの和が等しいので、中央の数が求められます。

 ここまで求めておけば後は簡単に全部のマスを埋めることができます。

 魔方陣の問題になる確率は 1-8/93=19/21=0.9047619…… です。 


[解答2]

 右図のように、斜めに A,B,C,D,E,F,G,H,I と記し、9マスの中に A,C,G,I を入れます。

 また、3つの数の和(定和)を S とします。

 (B+E+H)+(I+E+A)+(D+E+F)=3S ,(B+I+D)+(F+A+H)=2S を 辺々減じて、3E=S です。

 B+E+H=3E より B+H=2E 、「B,E,H」は等差数列です。

 同様に、「D,E,F」「A,E,I」「C,E,G」も等差数列です。

 次に、(I+E+A)+(D+E+F)+(G+E+C)=3S ,(B+I+D)+(B+G+F)=2S を 辺々減じて、

 3E+C+A-2B=S 、C+A=2B 、「A,B,C」は等差数列です。

 同様に、「G,H,I」「A,D,G」「C,F,I」も等差数列です。

 これらをまとめると、次の3数ずつの8組が等差数列になります。

 「A,B,C」「D,E,F」「G,H,I」「A,D,G」「B,E,H」「C,F,I」「A,E,I」「C,E,G」

 このうちの1組を選んで 9,0,4 を記入すると等差数列にならず、

 それ以外の3ヶ所を選んで 9,0,4 を記入すると斜めの3数を等差数列にできるので、

 魔方陣の問題になる確率は 1-8/93=19/21=0.9047619…… です。 

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Comments 18

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

すてきな尾です!

樹☆  
No title

おはようございます
オカトラノオ・・整列してるみたいに咲いてますね。
一つ一つの花も清楚で、きれいです。。

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
オカトラノオですネ!!
花穂が真っ直ぐ伸びずに曲がって咲く習性があるなでしょうかー
今もみじの里でも咲いていますよ♪

ナイス♪

ニリンソウ  
No title

この辺の里山でも盛り!
全国的に今なんですね。

ナイス

tsuyoshik1942  
No title

答がたまたま当たっていただけで、間違いました。
理論的に考えることができず、考えられる配置パターンについて実践的に魔方陣を作成しました。
その結果で「問の答」を算出したら「0.904.」が出てきたので良しとしてしまいました。

「解答」のように完全とは言わず、せめて、(A),(B)の中央のマスの数の特性だけでもつかみたかったです。

たけちゃん  
No title

3つの魔方陣P,Q,Rを次のように定義します.
ただし,「+」は+1,「-」は-1を意味するものとします.

P=
+++
+++
+++

Q=
+-0
-0+
0+-

R=
0-+
+0-
-+0

当然ながら,Pのx倍,Qのy倍,Rのz倍を各マスごとに足したもの
(以下xP+yQ+zRのように表す)も魔方陣です.
また,魔方陣の3マス
●○●
○●○
○○○
が指定されると,解答で示されているように,魔方陣は1通りに定まり,
その魔方陣は,中央をx,左上をx+y,右上をx+zとするx,y,zを用いて,
xP+yQ+zRと表すことができます.

たけちゃん  
No title

以上より,魔方陣の問題になるのは,
x+y,x-y-z,x+z,
x-y+z,x,x+y-z,
x-z,x+y+z,x-y
のうちの3つが指定されたとき,x,y,zが1つに定まる場合となります.
xの係数はすべて1なので無視して,y,zの係数を拾うと,
(1,0),(-1,-1),(0,1)
(-1,1),(0,0),(1,-1)
(0,-1),(1,1),(-1,0)
となり,これを座標と見たとき,選んだ3つに対応する座標の3点が
一直線上の場合は魔方陣の問題とならず,そうでなければ魔方陣の問題です.
9点は正方形状に並ぶので,一直線上に並ぶような選び方は,
9C3通り中の8通りであり,求める確率は1-8/(9C3)=19/21となります.

たけちゃん  
No title

となると,はじめに指定する数が「9,0,4」であることは,本質には無関係です.
(選んだ3マスに指定する数が何であっても,確率には影響しません.)
もし,指定する数に意味を持たせるとすれば,
「記入する数を整数に限定する」ことが考えられます.
(このときも,3点が一直線上でなければ魔方陣は定まりますが,それが
整数でないマスを持つならば,魔方陣の問題ではないことになります.)

「9,0,4」の場合についてはやってみましたが,結構面倒でした.
一般の場合はちょっと気が進まないところです.

「9,0,4」の場合については,座標平面上の3点が,
面積1/2の三角形となる場合のすべてと,面積1の三角形となる場合の1/3
だけが魔方陣の問題となるようです.
結果は32/63だと思います.

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
オカトラノオ、本当に尻尾見たいです。
小さな花も綺麗です。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
整列はしていませんでしたが、沢山咲いていると並んでいるようです。
白い小さな花も清楚ですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
もみじの里でも同じ時期に咲くのですね。
何故かは分かりませんが、この形がいいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
先日、ニリンソウさんのブログにも載っていましたね。
慌てて見に行きました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
この問題はきちんと検討すると面倒ですね。
いろいろ考えて頂けて嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントをありがとうございます。
私は整数に限定することは考えませんでしたが、
[解答2]のように等差数列で考えると、
一直線上の両端が偶数と奇数になると間の数が整数になりません。
与えられた3つの数字が全部偶数または全部奇数だと確率は 19/21 、
偶数と奇数が混ざっていると 32/63 だと思います。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
あっりゃ~~~…わたしもたまたまでしたわ ^^;
縦3、横3、対角線2は無理と思ってましたが…
中央マスはS/3になるんですねぇ(朧げな記憶が蘇って来ました…)
で、真ん中を通る4本と、真ん中をはずれた4組のときだけ決まらないってわけでしたのねぇ…☆
4個、5個のときは...すぐには思い付きましぇん…^^;; Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
3個の数を与えると3×3の魔方陣はほとんど決まるのですね。
それを見つけて確率の問題にしました。

たけちゃん  
No title

魔方陣の問題
22?
0??
???
を解くと,
441
036
522
の1/2倍が出てきます.
また,
224
???
???
を解くと,
336
741
255
の2/3倍となります.

このように,3数の偶奇が一致しても,
整数限定では魔方陣の問題として成立しない場合があり,
確率はもう少し場合分けが必要だと思います.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントをありがとうございます。
私は整数に限定することは考えていませんでしたので、
推敲不足のコメントを書いてしまいました。
確かに、B,I,Dに書き込むときは B+I+D が3の倍数になるか否か、
A,C,Hに書き込むときは A+C+2H が4の倍数になるか否かでも
場合分けが必要で、全部調べる気になりませんね。